Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.

Пример 1:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.

Решение от преподавателя:

Находим собственные числа оператора:

Находим собственные векторы оператора:

Полагая х₁=3, получаем собственный вектор Х₁=(3;-6;20).

       

Полагая х₃=1, получаем собственный вектор Х₂=(0;0;1).

 

Ответ: .

Пример 2:

Найти собственные числа и векторы матрицы:

7 -12 6 10 -19 10 12 -24 13

 

Решение от преподавателя:

Составляем систему для определения координат собственныхвекторов:
(7 - λ)x₁-12x₂ + 6x₃ = 0
10x₁ + (-19 - λ)x₂ + 10x₃ = 0
12x₁-24x₂ + (13 - λ)x₃ = 0
Составляемхарактеристическоеуравнение и решаем его.

7 - λ -12 6 10 -19 - λ 10 12 -24 13 - λ

Для этого находим определительматрицы и приравниваемполученноевыражение к нулю.
(7 - λ) • ((-19 - λ) • (13 - λ)-(-24 • 10))-10 • (-12 • (13 - λ)-(-24 • 6))+12 • (-12 • 10-(-19 - λ) • 6) = 0
Послепреобразований, получаем:
-λ³+λ²+λ-1 = 0
λ₁ = -1
Подставляя λ₁ = -1 в систему, имеем:

7 - (-1) -12 6 10 -19 - (-1) 10 12 -24 13 - (-1)

или

8 -12 6 10 -18 10 12 -24 14

Решаемэту систему линейныходнородныхуравнений.
Выпишемосновнуюматрицусистемы:

8 -12 6 10 -18 10 12 -24 14 x1 x2 x3

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работатьтолькосо строками, так какумножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другойстроке для системыозначаетумножениеуравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняетрешениясистемы.
Умножим 1-ую строку на (-5). Умножим 2-ую строку на (4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 -12 10 10 -18 10 12 -24 14

Умножим 2-ую строку на (-6). Умножим 3-ую строку на (5). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0 -12 10 0 -12 10 12 -24 14

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можновычеркнуть. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы, так каконоявляетсяследствием 2-го.

0 -12 10 12 -24 14

Найдем ранг матрицы.

0 -12 10 12 -24 14

Выделенныйминоримеетнаивысший порядок (извозможныхминоров) и отличен от нуля (он равенпроизведениюэлементов, стоящих на обратнойдиагонали), следовательноrang(A) = 2.
Этотминорявляетсябазисным. В неговошликоэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃ – свободные.
Преобразуемматрицу, оставляяслеватолькобазисныйминор.

0 -12 -10 12 -24 -14

Система с коэффициентамиэтойматрицыэквивалентнаисходнойсистеме и имеет вид:
- 12x₂ = - 10x₃
12x₁ - 24x₂ = - 14x₃
Методом исключениянеизвестных находим нетривиальноерешение:
Получили соотношения, выражающиезависимыепеременные x₁,x₂ через свободные x₃, то естьнашли общеерешение:
x₂ = ⁵/₆x₃
x₁ = ¹/₂x₃
Множествособственныхвекторов, отвечающихсобственному числу λ₁ = -1, имеет вид: 
(0.50000x₃,0.83333x₃,1.0000x₃) = x₃(0.50000,0.83333,1.0000)
где x₃ - любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₃ = 1.0000:

λ₂ = 1
Подставляя λ₂ = 1 в систему, имеем:

7 - 1 -12 6 10 -19 - 1 10 12 -24 13 - 1

или

6 -12 6 10 -20 10 12 -24 12

Решаемэту систему линейныходнородныхуравнений
Выпишемосновнуюматрицусистемы:

6 -12 6 10 -20 10 12 -24 12 x1 x2 x3

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работатьтолькосо строками, так какумножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другойстроке для системыозначаетумножениеуравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняетрешениясистемы.
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можновычеркнуть. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы, так каконоявляетсяследствием 2-го.

10 -20 10 12 -24 12

Умножим 1-ую строку на (-6). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 0 0 12 -24 12

В матрице B 1-ая строканулевая, следовательно, вычеркиваемее. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы.

12 -24 12

Найдем ранг матрицы.

12 -24 12

Выделенныйминоримеетнаивысший порядок (извозможныхминоров) и отличен от нуля (он равенпроизведениюэлементов, стоящих на обратнойдиагонали), следовательноrang(A) = 1.
Этотминорявляетсябазисным. В неговошликоэффициенты при неизвестных , значит, неизвестные – зависимые (базисные), а x₁,x₂,x₃ – свободные.
Преобразуемматрицу, оставляяслеватолькобазисныйминор.

-12 24 -12 x1 x2 x3

Система с коэффициентамиэтойматрицыэквивалентнаисходнойсистеме и имеет вид:
- 12x1 = 24x₂ - 12x₃
Получили соотношения, выражающиезависимыепеременные через свободные x₁,x₂,x₃, то естьнашли общеерешение:
x1 = - 2x₂ + x₃
Находим фундаментальную систему решений, котораясостоитиз (n-r) решений.
В нашемслучае n=3, r=1, следовательно, фундаментальная система решенийсостоитиз 2-х решений, причемэтирешениядолжныбытьлинейнонезависимыми.
Чтобы строки былилинейнонезависимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленнойизэлементов строк, былравенколичеству строк, то есть 2.
Достаточнопридатьсвободнымнеизвестным x₁,x₂,x₃ значенияиз строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать .

Множествособственныхвекторов, отвечающихсобственному числу λ₂ = 1, имеет вид: 
(2.0000x₁,x₂,x₃,1.0000x₁,x₂,x₃,0x₁,x₂,x₃) = x₁,x₂,x₃(2.0000,1.0000,0)
где x₁,x₂,x₃ - любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₁,x₂,x₃ = 2.0000:

(-1.0000x₁,x₂,x₃,0x₁,x₂,x₃,1.0000x₁,x₂,x₃) = x₁,x₂,x₃(-1.0000,0,1.0000)
где x₁,x₂,x₃ - любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₁,x₂,x₃ = -1.0000:

Ответ: λ=-1, (1/2x₃, 5/6x₃, x₃)

λ=1, (2x₂-x₃, x₂, x₃)