Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Пример 1:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора  заданного матрицей:

Решение от преподавателя:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(57 - λ)x₁ + 2x₂ = 0
2x₁ + (43 - λ)x₂ = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые

2451-43λ -57λ+λ² -4=0

λ² -100λ +2447=0

D = 10000- 9788 = 212

6x₁ + 2y₁ = 0
2x₁-8y₁ = 0
Собственный вектор, отвечающий числу     при x₁ = 1:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

где

длина вектора x₁.
или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу   находим из системы:

8x₁ + 2y₁ = 0
2x₁-6y₁ = 0

или

Пример 2:

Найти собственные числа и собственные векторы заданной матрицы.

Решение от преподавателя: