Найти общее решение системы.

Пример 1:

Найти общее решение системы:

Решение от преподавателя:

Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на a1,1 =

11

Получим матрицу:

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

3

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

8

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x₁, x₂ оставим в левой части уравнений, а x₃, x₄ перенесем вправо. Окончательный вид системы следующий:

 

Пример 2:

Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее матричным методом:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решите заданную систему уравнений двумя способами:

1) способом Гаусса;

2) с помощью обратной матрицы.

Решение от преподавателя:

Решение.

Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы: 

2 -2 1 6 -1 0 1 0 1

6 24 2

Умножим 1-ю строку на (3). Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й: 

0 -5 3 6 -1 0 1 0 1

-6 24 2

Умножим 3-ю строку на (-6). Добавим 3-ю строку к 2-й: 

0 -5 3 0 -1 -6 1 0 1

-6 12 2

Умножим 2-ю строку на (-5). Добавим 2-ю строку к 1-й: 

0 0 33 0 -1 -6 1 0 1

-66 12 2

Теперь исходную систему можно записать так: 
x3 = -66/33 
x2 = [12 - ( - 6x3)]/(-1) 
x1 = [2 - (x3)]/1 
Из 1-й строки выражаем x3 

Из 2-й строки выражаем x2 

Из 3-й строки выражаем x1 

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: 

2 -2 1 6 -1 0 1 0 1

Вектор B: 
B^T=(6,24,2) 
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. 
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е. 
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1. 
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель. 
∆=2•(-1•1-0•0)-6•(-2•1-0•1)+1•(-2•0-(-1•1))=11 
Итак, определитель 11 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. 

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: 

AT=

2 6 1 -2 -1 0 1 0 1

Вычисляем алгебраические дополнения. 

AT1,1=(-1)1+1

-1 0 0 1

∆1,1=(-1•1-0•0)=-1 

AT1,2=(-1)1+2

-2 0 1 1

∆1,2=-(-2•1-1•0)=2 

AT1,3=(-1)1+3

-2 -1 1 0

∆1,3=(-2•0-1•(-1))=1 

AT2,1=(-1)2+1

6 1 0 1

∆2,1=-(6•1-0•1)=-6 

AT2,2=(-1)2+2

2 1 1 1

∆2,2=(2•1-1•1)=1 

AT2,3=(-1)2+3

2 6 1 0

∆2,3=-(2•0-1•6)=6 

AT3,1=(-1)3+1

6 1 -1 0

∆3,1=(6•0-(-1•1))=1 

AT3,2=(-1)3+2

2 1 -2 0

∆3,2=-(2•0-(-2•1))=-2 

AT3,3=(-1)3+3

2 6 -2 -1

∆3,3=(2•(-1)-(-2•6))=10 
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: 

C=

-1 2 1 -6 1 6 1 -2 10

Вычислим обратную матрицу: 

-1 2 1 -6 1 6 1 -2 10

Вектор результатов X 
X=A-1 • B 

-1 2 1 -6 1 6 1 -2 10

*

6 24 2

 

(-1*6)+(2*24)+(1*2) (-6*6)+(1*24)+(6*2) (1*6)+(-2*24)+(10*2)

 

44 0 -22

X^T=(4,0,-2) 
x₁=44 / 11=4 
x₂=0 / 11=0 
x₃=-22 / 11=-2 
Проверка. 
2•4-2•0+1•(-2)=6 
6•4-1•0+0•(-2)=24 
1•4+0•0+1•(-2)=2 

Пример 4:

Решить систему уравнений по правилу матричным методом.

Решение от преподавателя:

A=	1     9     -4     2     -8     5     4     -3     2

 

B=

5 -3 8

 

X=

x1 x2 x3

A · X = B

значит

X = A^-1 · B

найдем детерминант матрицы А

det(A) == 39

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А

M1,1 = (-1)1+1

-8     5     -3     2

=

-1

 

M1,2 = (-1)1+2	2     5     4     2	=	16

 

M1,3 = (-1)1+3

2     -8     4     -3

=

26

 

M2,1 = (-1)2+1

9     -4     -3     2

=

-6

 

M2,2 = (-1)2+2

1     -4     4     2

=

18

 

M2,3 = (-1)2+3

1     9     4     -3

=

39

 

M3,1 = (-1)3+1

9     -4     -8     5

=

13

 

M3,2 = (-1)3+2

1     -4     2     5

=

-13

 

M3,3 = (-1)3+3

1     9     2     -8

=

-26

M =	-1     16     26     -6     18     39     13     -13     -26

 

MT =	-1     -6     13     16     18     -13     26     39     -26

Найдем обратную матрицу

A-1 = MT/det(A) =

-1/39     -2/13     1/3     16/39     6/13     -1/3     2/3     1     -2/3

Найдем решение

X = A-1 · B =

-1/39     -2/13     1/3     16/39     6/13     -1/3     2/3     1     -2/3

·

5 -3 8

=

3 -2 -5

 

Ответ: х₁ = 3; х₂ =-2; х₃ = -5

Пример 5:

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение от преподавателя:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_1 1. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -3/2,-1/2,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a_2 2. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -9,-1 соответственно:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

x₁ =x₂ -x₃

x₂ = -5 + x₃

x₃ = 2

Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.

x₁ = 1; x₂ = -3; x₃ = 2

Ответ: x₁ = 1; x₂ = -3; x₃ = 2