Найти матрицу обратную матрице

Пример 1:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Дана невырожденная матрица

Найти обратную матрицу А^-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что А∙А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Вычислить матрицу обратную к А:

Решение от преподавателя:

Главный определитель

∆=1•(1•2-1•1)-2•(-1•2-1•1)+1•(-1•1-1•1)=5

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.

∆_1,1=(1•2-1•1)=1

∆_1,2=-(-1•2-1•1)=3

∆_1,3=(-1•1-1•1)=-2

∆_2,1=-(2•2-1•1)=-3

∆_2,2=(1•2-1•1)=1

∆_2,3=-(1•1-1•2)=1

∆_3,1=(2•1-1•1)=1

∆_3,2=-(1•1-(-1•1))=-2

∆_3,3=(1•1-(-1•2))=3

Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Пример 4:

Найти матрицу обратную матрице

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти обратную матрицу:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку.

Решение от преподавателя:

Вычислим определитель матрицы А:

Матрица А – невырожденная и для нее существует обратная.

Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -  строке:

Проверка:

Ответ: