Нахождения алгебраического дополнения элемента матрицы

Определение предмета и раздела:

Предмет: Алгебра
Раздел: Линейная алгебра (работа с матрицами)
Задание касается нахождения алгебраического дополнения элемента матрицы.

Условие:

Найти алгебраическое дополнение элемента \(a_{12}\) матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 5 \\ 5 & 7 & 3 \end{pmatrix} \]

Элемент \(a_{12}\) находится во второй колонке первого ряда и равен \(4\).

Алгебраическое дополнение \(A_{12}\) элемента — это минор \(M_{12}\), умноженный на знак \((-1)^{i+j}\), где \(i\) и \(j\) — номер строки и столбца (\(i = 1, j = 2\)).

Пошаговое решение:

1. Знак \((-1)^{i+j}\):

   \[ (-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1 \]

2. Минор \(M_{12}\):

   Минор \(M_{12}\) — это определитель матрицы, которая получается из исходной матрицы \(A\), если удалить первую строку (строку элемента \(a_{12}\)) и второй столбец (столбец элемента \(a_{12}\)):

   \[ \tilde{A} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \]

   Определитель этой матрицы:

   \[ \text{det}(\tilde{A}) = (0 \cdot 3) - (5 \cdot 5) = -25 \]

3. Алгебраическое дополнение \(A_{12}\):

   Умножим минор \(M_{12}\) на знак \((-1)^{i+j}\):

   \[ A_{12} = (-1) \cdot (-25) = 25 \]

Ответ: