Нахождение векторов нового базиса на основе известных векторов и их представлений в базисе

Эта задача относится к области линейной алгебры и разделу "Преобразование координат векторов при смене базиса".

Задача состоит в нахождении векторов нового базиса \( e_1, e_2, e_3 \) на основе известных векторов \( a, b, c \) и их представлений в базисе \( e_1, e_2, e_3 \) (обозначенных как \( a_e, b_e, c_e \)). Даны: \[ a_e = (1, -1, 1), \quad b_e = (-1, 1, 0), \quad c_e = (-1, -1, 1) \] и \[ a = (-3, -3, 1), \quad b = (0, 2, 1), \quad c = (-3, -1, 1) \]

Известные выражения векторов в базисе \( e_1, e_2, e_3 \):

• \[ a = a_{e_1} e_1 + a_{e_2} e_2 + a_{e_3} e_3 \]
• \[ b = b_{e_1} e_1 + b_{e_2} e_2 + b_{e_3} e_3 \]
• \[ c = c_{e_1} e_1 + c_{e_2} e_2 + c_{e_3} e_3 \]

Запишем это в форме системы линейных уравнений:

• \[ a = (1)e_1 + (-1)e_2 + (1)e_3 = (1)e_1 - (1)e_2 + (1)e_3 \]
• \[ b = (-1)e_1 + (1)e_2 + (0)e_3 = (-1)e_1 + (1)e_2 \]
• \[ c = (-1)e_1 + (-1)e_2 + (1)e_3 = (-1)e_1 - (1)e_2 + (1)e_3 \]

Таким образом, мы получаем следующую систему:

• \[ \begin{cases} a = -3 e_1 - 3 e_2 + 1 e_3 \\ b = 0 e_1 + 2 e_2 + 1 e_3 \\ c = -3 e_1 - 1 e_2 + 1 e_3 \end{cases} \]

Составим матрицу коэффициентов для исходного базиса:

• \[ \begin{pmatrix} -3 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

и матрицу коэффициентов для нового базиса:

• \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Для нахождения векторов базиса \( e_1, e_2, e_3 \), надо найти матрицу перехода из базиса \( e_1, e_2, e_3 \) в базис \( a, b, c \). Решаем систему уравнений путем умножения на обратную матрицу перехода.

1. Находим обратную матрицу для матрицы перехода: Матрица перехода \( P \): \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] Вычислим её обратную: \[ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \cdot \text{Adj}(P) \] Вычисляем детерминант \( \det(P) \):
2. \[ \det(P) = 1\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot0) - (-1)\cdot(-1\cdot1 - (-1)\cdot1) + 1\cdot((-1)\cdot0 - 1\cdot(-1)) \]
3. \[ \det(P) = 1(1 - 0) - (-1)(-1 - 1) + 1(0 + 1) \]
4. \[ \det(P) = 1 - 2 + 1 = 0 \]
5. Поскольку детерминант равен нулю, матрица не имеет обратной. Ранее допущена ошибка в предположении того, что заданы два разных базиса для преобразования. Поскольку рассмотренное решение ошибочно, и детерминант дает нулевое значение, матрицы преобразования нет.

Поэтому данная задача требует уточнений в изначальных данных.