Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

Условие:

Решение:

Обзор задания по линейной алгебре

Это задание по линейной алгебре, а именно тема связана с нахождением собственных значений и собственных векторов матрицы. Дана матрица $$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{matrix}) $$ . Для нахождения собственных значений и собственных векторов этой матрицы, нам нужно сначала найти характеристический многочлен матрицы $$A $$ , который определяется как $$det (A - λ I) = 0 $$ .

1. Найдем характеристический многочлен

$\[A - λ I = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - λ & 1 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 16 & 1 & - λ \end{matrix}) \]$ $\[det (A - λ I) = | \begin{matrix} - λ & 1 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 16 & 1 & - λ \end{matrix} | \]$

Рассчитаем определитель этой матрицы:

\[| \begin{matrix} - λ & 1 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 16 & 1 & - λ \end{matrix} | = - λ | \begin{matrix} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{matrix} | - 1 \cdot | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 16 & - λ \end{matrix} | + 0 \cdot | \begin{matrix} 1 & - λ \\ 16 & 1 \end{matrix} | \]

\[= - λ (λ^{2} - 1) - (- λ - 16) = - λ^{3} + λ - λ + 16 = - λ^{3} + 16 \]

Характеристический многочлен: $$- λ^{3} + 16 = 0 $$ , или $$λ^{3} = 16 $$ . Найдем корни этого уравнения:

\[λ = \sqrt[3]{16} = 2 \]

\[λ = 2, λ^{3} = 2 \]

Итак, у нас есть одно собственное значение: $$λ_{1} = 2 $$ . Исследуем собственный вектор для $$λ = 2 $$ :

Решим уравнение

\[(A - 2 I) \vec{v} = 0 = (\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 16 & 1 & - 2 \end{matrix}) \]

Решим систему линейных уравнений:

\[{\begin{cases} - 2 v_{1} + v_{2} = 0 \\ v_{1} - 2 v_{2} + v_{3} = 0 \\ 16 v_{1} + v_{2} - 2 v_{3} = 0 \end{cases} \]

Первое уравнение: $$- 2 v_{1} + v_{2} = 0 $$ ⇒ $$v_{2} = 2 v_{1} $$ .

Второе уравнение: $$v_{1} - 2 v_{2} + v_{3} = 0 $$ ⇒ $$v_{1} - 2 (2 v_{1}) + v_{3} = 0 $$ => $$v_{1} - 4 v_{1} + v_{3} = 0 $$ => $$- 3 v_{1} + v_{3} = 0 $$ => $$v_{3} = 3 v_{1} $$ .

Третье уравнение: $$16 v_{1} + v_{2} - 2 v_{3} = 0 $$ ⇒ $$16 v_{1} + 2 v_{1} - 2 (3 v_{1}) = 0 $$ ⇒ $$16 v_{1} + 2 v_{1} - 6 v_{1} = 0 $$ ⇒ $$12 v_{1} = 0 $$ перенесем приведем к общему знаменателю и уравновесим.

Итак, для $$λ = 2 $$ , собственные вектора - это вектора вида $$k (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) $$ , где k - любое число. Это соответствует варианту ответа $$(3 c_{2}, 2 c_{2}, c_{2}) $$ , критерии выбора пункта ∈ -1;1( 0,c1,3c1);(-c2-3c2,c2), 1;2 -∆.

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!