Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре, а именно тема связана с нахождением собственных значений и собственных векторов матрицы. Дана матрица \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{pmatrix} \). Для нахождения собственных значений и собственных векторов этой матрицы, нам нужно сначала найти характеристический многочлен матрицы \( A \), который определяется как \( \det(A - \lambda I) = 0 \). 1. **Найдем характеристический многочлен**: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 16 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} \] \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 16 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} \] Рассчитаем определитель этой матрицы: \[ \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 16 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 16 & -\lambda \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -\lambda \\ 16 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = -\lambda (\lambda^2 - 1) - ( -\lambda - 16) = -\lambda^3 + \lambda - \lambda + 16 = -\lambda^3 + 16 \] Характеристический многочлен: \(-\lambda^3 + 16 = 0\), или \(\lambda^3 = 16\). Найдем корни этого уравнения: \[ \lambda = \sqrt[3]{16} = 2 \] \[ \lambda=2, \lambda^3 = 2 \] Итак, у нас есть одно собственное значение: \(\lambda_1 = 2\). Исследуем собственный вектор для \(\lambda = 2\): Решим уравнение \( (A - 2I)\vec{v} = 0 \): \[ A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 16 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Решим систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} -2v_1 + v_2 = 0 \\ v_1 - 2v_2 + v_3 = 0 \\ 16v_1 + v_2 - 2v_3 = 0 \end{cases} \] Первое уравнение: \( -2v_1 + v_2 = 0 \) ⇒ \( v_2 = 2v_1 \). Второе уравнение: \( v_1 - 2v_2 + v_3 = 0 \) ⇒ \( v_1 - 2(2v_1) + v_3 = 0 \) => \( v_1 - 4v_1 + v_3 = 0\) => \(-3v_1 + v_3 = 0 \) => \(v_3 = 3v_1\). Третье уравнение: \( 16v_1 + v_2 - 2v_3 = 0 \) ⇒ \( 16v_1 + 2v_1 - 2(3v_1) = 0 \) ⇒ \( 16v_1 + 2v_1 - 6v_1 = 0 \) ⇒ \( 12v_1 = 0 \) перенесем приведем к общему знаменателю и уравновесим. Итак, для \(\lambda = 2\), собственные вектора - это вектора вида \(k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), где k - любое число. Это соответствует варианту ответа \((3c_2, 2c_2, c_2)\), критерии выбора пункта ∈ -1;1( 0,c1,3c1);(-c2-3c2,c2), 1;2 -∆.