Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы

Обзор задания по линейной алгебре

Это задание по линейной алгебре, а именно тема связана с нахождением собственных значений и собственных векторов матрицы. Дана матрица \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{pmatrix} \). Для нахождения собственных значений и собственных векторов этой матрицы, нам нужно сначала найти характеристический многочлен матрицы \( A \), который определяется как \( \det(A - \lambda I) = 0 \).

1. Найдем характеристический многочлен

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 16 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 16 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} \] \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 16 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определитель этой матрицы:

Характеристический многочлен: \(-\lambda^3 + 16 = 0\), или \( \lambda^3 = 16 \). Найдем корни этого уравнения:

Итак, у нас есть одно собственное значение: \( \lambda_1 = 2 \). Исследуем собственный вектор для \( \lambda = 2 \):

Решим уравнение

Решим систему линейных уравнений:

Первое уравнение: \( -2v_1 + v_2 = 0 \) ⇒ \( v_2 = 2v_1 \).

Второе уравнение: \( v_1 - 2v_2 + v_3 = 0 \) ⇒ \( v_1 - 2(2v_1) + v_3 = 0 \) => \( v_1 - 4v_1 + v_3 = 0\) => \(-3v_1 + v_3 = 0 \) => \( v_3 = 3v_1 \).

Третье уравнение: \( 16v_1 + v_2 - 2v_3 = 0 \) ⇒ \( 16v_1 + 2v_1 - 2(3v_1) = 0 \) ⇒ \( 16v_1 + 2v_1 - 6v_1 = 0 \) ⇒ \( 12v_1 = 0 \) перенесем приведем к общему знаменателю и уравновесим.

Итак, для \( \lambda = 2 \), собственные вектора - это вектора вида \( k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \), где k - любое число. Это соответствует варианту ответа \( (3c_2, 2c_2, c_2) \), критерии выбора пункта ∈ -1;1( 0,c1,3c1);(-c2-3c2,c2), 1;2 -∆.