Нахождение скалярного и векторного произведений векторов

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, в частности, к разделу аналитической геометрии и векторной алгебры. Задача связана с нахождением скалярного и векторного произведений векторов.

Дано:

• |\mathbf{a}| = 7 — модуль вектора \mathbf{a}
• |\mathbf{b}| = 14 — модуль вектора \mathbf{b}
• Угол между векторами \mathbf{a} и \mathbf{b}: \theta = 135^\circ
• \mathbf{p} = 2\mathbf{a} + 5\mathbf{b}
• \mathbf{q} = \mathbf{a} - 3\mathbf{b}

1. Найдем скалярное произведение \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}

Скалярное произведение двух векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} определяется как: \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos \theta

Для решения найдем:

А) Скалярное произведение \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

Модуль вектора \mathbf{a}: |\mathbf{a}| = 7

Модуль вектора \mathbf{b}: |\mathbf{b}| = 14

Угол между векторами \mathbf{a} и \mathbf{b}: \theta = 135^\circ

\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \times 14 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -7 \times 14 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -98 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -49\sqrt{2}

Б) Используем свойство скалярного произведения и раскрываем \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}:

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = (2\mathbf{a} + 5\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 3\mathbf{b})

Раскрываем, используя дистрибутивное свойство (раскрытие скобок):

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 6\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 5\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 15\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}

Применяем свойства скалярного произведения:

• \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 7^2 = 49
• \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 14^2 = 196
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = -49\sqrt{2}

Теперь подставляем все:

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \times 49 - 6 \times (-49\sqrt{2}) + 5 \times (-49\sqrt{2}) - 15 \times 196

Считаем отдельно:

• 2 \times 49 = 98
• -6 \times (-49\sqrt{2}) = 294\sqrt{2}
• 5 \times (-49\sqrt{2}) = -245\sqrt{2}
• -15 \times 196 = -2940

Подставляем всё в итоговое выражение:

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 98 + 294\sqrt{2} - 245\sqrt{2} - 2940

Сводим подобные:

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 98 - 2940 + (294\sqrt{2} - 245\sqrt{2})

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = -2842 + 49\sqrt{2}

Ответ: \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = -2842 + 49\sqrt{2}

2. Найдем векторное произведение \mathbf{p} \times \mathbf{q}

Векторное произведение векторов \mathbf{u} \times \mathbf{v} — это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, с модулем:

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin \theta

Однако для решения через компоненты применим стандартное разложение:

\mathbf{p} \times \mathbf{q} = (2\mathbf{a} + 5\mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - 3\mathbf{b})

Раскрываем через свойства векторного произведения:

\mathbf{p} \times \mathbf{q} = 2\mathbf{a} \times \mathbf{a} - 6\mathbf{a} \times \mathbf{b} + 5\mathbf{b} \times \mathbf{a} - 15\mathbf{b} \times \mathbf{b}

Теперь применим свойства:

• \mathbf{a} \times \mathbf{a} = 0 — векторное произведение вектора на себя равно нулю.
• \mathbf{b} \times \mathbf{b} = 0 — векторное произведение вектора на себя равно нулю.
• \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}
• Модуль |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(135^\circ)

Так как \sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}, получаем:

|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 7 \times 14 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 49\sqrt{2}

Подставляем:

\mathbf{p} \times \mathbf{q} = -6 \times 49\sqrt{2} + 5 \times (-49\sqrt{2})

\mathbf{p} \times \mathbf{q} = -294\sqrt{2} - 245\sqrt{2}

\mathbf{p} \times \mathbf{q} = -539\sqrt{2}

Итоговые ответы:

1. Скалярное произведение \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = -2842 + 49\sqrt{2}
2. Векторное произведение \mathbf{p} \times \mathbf{q} = -539\sqrt{2}

Ответ: \mathbf{p} \times \mathbf{q} = -539\sqrt{2}