Нахождение ранга матриц

Это задание относится к математике, раздел "линейная алгебра," а конкретно - ранги матриц.

Найдем ранг матрицы \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} m & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} \]

1. Начнем с определения матриц меньших размеров. Рассмотрим миноры второго порядка:
   • минор порядка 2 для элементов первой и второй строки и столбца и второго солбца: \[ \begin{vmatrix} m & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = m \cdot 1 - (-3) \cdot 1 = m + 3 \] Если \( m \neq -3 \), то этот минор ненулевой, и ранг матрицы будет не менее 2.
2. Теперь нужно проверить миноры третьего порядка (определители всей матрицы).

   Рассчитаем определитель матрицы \( A \): \[ |A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 3 \end{vmatrix} = m \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} \] Вычислим каждый из подопределителей: \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot (-5) = 3 \] \[ \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -3 \cdot 3 - 0 \cdot 3 = -9 \] \[ \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = (-3) \cdot (-5) - 1 \cdot 3 = 15 - 3 = 12 \] Тогда определитель матрицы \(A\): \[ |A| = m \cdot 3 - 1 \cdot (-9) + 4 \cdot 12 = 3m + 9 + 48 = 3m + 57 \]

3. Анализ определителя третьего порядка:
   • Определитель этой матрицы: - если \( 3m + 57 = 0 \Rightarrow m = -19 \) - при \( m \neq -19 \): \( 3m+57 \neq 0 \), то тогда определитель матрицы \(A\) не равен нулю, и ранг матрицы равен 3.
   • при \( m = -19 \) определитель матрицы \(A\) равен нулю - ранг 2

Итог: ранг матрицы \( A \) равен 3 при \( m \neq -19 \), и равен 2 при \( m = -19\).