Нахождение ранга квадратичной формы

Это задание по математике, а именно из раздела линейной алгебры, связанного с квадратичными формами.

\[ f(x_1, x_2, x_3) = -x_1^2 + x_2^2 - 9x_3^2 + 6x_1x_2 + 6x_1x_3 \] Для нахождения ранга квадратичной формы, необходимо составить её матрицу и найти её ранг. Квадратичная форма записывается в виде: \[ f(x) = x^T A x \] где \( x \) — это вектор переменных \((x_1, x_2, x_3) \), а \( A \) — симметричная матрица. Преобразуем форму в выражение: \[ f(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Матрица \( A \) симметричная, мы получили её симметризовав коэффициенты при смешанных членах \( x_1x_2 \) и \( x_1x_3 \). Теперь найдем ранг этой матрицы \( A \).

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \] Применим метод элементарных преобразований к данной матрице для нахождения её ранга.

1. Домножим первую строку на -1. \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \]
2. Домножим первую строку на 3 и вычтем её из второй строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & 10 & 9 \\ 3 & 0 & -9 \end{pmatrix} \]
3. Домножим первую строку на 3 и вычтем её из третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & 10 & 9 \\ 0 & 9 & 0 \end{pmatrix} \]
4. Домножим вторую строку на 9, третью строку — на 10 и вычтем одну из другой: \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & 10 & 9 \\ 0 & 0 & -81 \end{pmatrix} \] Теперь видно, что ранг матрицы сконденсировался в эти строки. Поскольку все три строки линейно независимы, ранг данной матрицы равен 3. Следовательно, ответ: \[ 3 \]