Нахождение произведения собственных чисел обратной матрицы

Определение предмета и раздела

Это задание относится к курсу высшей математики, а более конкретно к разделу "Линейная алгебра", тематика "Собственные значения и собственные векторы".

Для нахождения произведения собственных чисел обратной матрицы, сначала найдем собственные числа исходной матрицы \(A\), затем найдем собственные числа обратной матрицы \(A^{-1}\).

1. Найдем собственные числа матрицы \(A\)

Матрица \(A\) дана как:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \]

Собственные числа матрицы \(A\) получаются из уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\), где \(\lambda\) — собственные числа, а \(I\) — единичная матрица. Сначала найдем \(A - \lambda I\):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \]

Вычислим определитель этой матрицы и приравняем его к нулю:

\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 \cdot 3 \]

\[ = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6 \]

\[ = 2 - \lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 6 \]

\[ = \lambda^2 - 3\lambda - 4 \]

Приравняем к нулю:

\[ \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Получаем два корня:

\[ \lambda_1 = 4 \]

\[ \lambda_2 = -1 \]

2. Найдем собственные числа обратной матрицы \(A^{-1}\)

Если \(\lambda\) — собственное число матрицы \(A\), то \(\frac{1}{\lambda}\) — собственное число матрицы \(A^{-1}\). Таким образом, собственными числами матрицы \(A^{-1}\) будут:

\[ \mu_1 = \frac{1}{4} \]

\[ \mu_2 = -1 \]

3. Найдем произведение собственных чисел матрицы \(A^{-1}\)

\[ \mu_1 \cdot \mu_2 = \frac{1}{4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4} \]

Таким образом, произведение собственных чисел обратной матрицы равно \(-0,25\).

Ответ: \(-0,25\).