Нахождение произведения собственных чисел обратной матрицы

Условие:

решение

Решение:

Определение предмета и раздела: Это задание относится к курсу высшей математики, а более конкретно к разделу "Линейная алгебра", тематика "Собственные значения и собственные векторы". Для нахождения произведения собственных чисел обратной матрицы, сначала найдем собственные числа исходной матрицы \(A\), затем найдем собственные числа обратной матрицы \(A^{-1}\). 1. **Найдем собственные числа матрицы \(A\)**: Матрица \(A\) дана как: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \] Собственные числа матрицы \(A\) получаются из уравнения \( \det(A - \lambda I) = 0 \), где \( \lambda \) — собственные числа, а \( I \) — единичная матрица. Сначала найдем \(A - \lambda I\): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] Вычислим определитель этой матрицы и приравняем его к нулю: \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 \cdot 3 \] \[ = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6 \] \[ = 2 - \lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 6 \] \[ = \lambda^2 - 3\lambda - 4 \] Приравняем к нулю: \[ \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: \[ \lambda_1 = 4 \] \[ \lambda_2 = -1 \] 2. **Найдем собственные числа обратной матрицы \(A^{-1}\)**: Если \(\lambda\) — собственное число матрицы \(A\), то \(\frac{1}{\lambda}\) — собственное число матрицы \(A^{-1}\). Таким образом, собственными числами матрицы \(A^{-1}\) будут: \[ \mu_1 = \frac{1}{4} \] \[ \mu_2 = -1 \] 3. **Найдем произведение собственных чисел матрицы \(A^{-1}\)**: \[ \mu_1 \cdot \mu_2 = \frac{1}{4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4} \] Таким образом, произведение собственных чисел обратной матрицы равно \(-0,25\). Ответ: \(-0,25\).