Нахождение потока векторного поля через полусферу с использованием дивергенции

Предмет: Векторный анализ

Раздел: Потоки векторных полей и теорема Гаусса (дивергенции)

Задача состоит в нахождении потока векторного поля через полусферу с использованием дивергенции. Для этого мы применим теорему Гаусса.

Дано:

Векторное поле: \mathbf{A} = \frac{-y+z}{r}\mathbf{i} + \frac{x+z}{r}\mathbf{j} + \frac{x-y}{r}\mathbf{k},
где r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} — длина радиус-вектора.

Поверхность: полусфера x^2 + y^2 + z^2 = 1, z > 0.

План решения:

1. Вычислим дивергенцию векторного поля \mathbf{A}.
2. Применим теорему Гаусса для перехода от поверхностного интеграла к объёмному.
3. Найдём объём, ограниченный полусферой.
4. Вычислим поток.

Шаг 1: Дивергенция векторного поля

Дивергенция векторного поля \mathbf{A} определяется как: \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z},
где A_x = \frac{-y+z}{r}, A_y = \frac{x+z}{r}, A_z = \frac{x-y}{r}.

Для вычисления дивергенции нам нужно найти частные производные каждого компонента.

1. Частная производная \frac{\partial A_x}{\partial x}:

A_x = \frac{-y+z}{r}, где r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
Частная производная: \frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-y+z}{r} \right) = (-y+z) \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right).

Производная \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) вычисляется как: \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( r^{-1} \right) = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{1}{r^2} \cdot \frac{x}{r} = -\frac{x}{r^3}.

Подставляем: \frac{\partial A_x}{\partial x} = (-y+z) \cdot \left( -\frac{x}{r^3} \right) = \frac{x(y-z)}{r^3}.

2. Частная производная \frac{\partial A_y}{\partial y}:

A_y = \frac{x+z}{r}. Аналогично: \frac{\partial A_y}{\partial y} = (x+z) \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{r} \right) = (x+z) \cdot \left( -\frac{y}{r^3} \right) = -\frac{y(x+z)}{r^3}.

3. Частная производная \frac{\partial A_z}{\partial z}:

A_z = \frac{x-y}{r}. Аналогично: \frac{\partial A_z}{\partial z} = (x-y) \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{r} \right) = (x-y) \cdot \left( -\frac{z}{r^3} \right) = -\frac{z(x-y)}{r^3}.

Теперь суммируем все три компоненты: \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{x(y-z)}{r^3} - \frac{y(x+z)}{r^3} - \frac{z(x-y)}{r^3}.

Приведём к общему знаменателю: \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{xy - xz - yx - yz - zx + zy}{r^3} = \frac{0}{r^3} = 0.

Таким образом, дивергенция равна нулю: \nabla \cdot \mathbf{A} = 0.

Шаг 2: Применение теоремы Гаусса

Согласно теореме Гаусса (дивергенции), поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью: \iint\limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{V} (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV.

Так как \nabla \cdot \mathbf{A} = 0, то: \iiint\limits_{V} (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV = 0.

Следовательно, поток через полусферу равен нулю: \Phi = 0.

Ответ:

Поток векторного поля \mathbf{A} через полусферу x^2 + y^2 + z^2 = 1, z > 0, равен: \Phi = 0.