Нахождение перпендикулярных и единичных векторов

Предмет: Линейная алгебра (геометрия). Раздел: Векторы в пространстве. Нахождение перпендикулярных и единичных векторов.

Задание просит найти единичный вектор, который перпендикулярен двум заданным векторам, \( \mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \) и \( \mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \).

Шаг 1: Найдем векторное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) (оно даст нам вектор, перпендикулярный обоим векторам):

\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

Чтобы вычислить определитель, используем правило Саррюса:

\[ \mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Теперь вычисляем малые определители:

1. Определитель при \( \mathbf{i} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1 \]
2. Определитель при \( \mathbf{j} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3 \]
3. Определитель при \( \mathbf{k} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 \]

Итак, векторное произведение:

\[ \mathbf{c} = -\mathbf{i} - (-3)\mathbf{j} - \mathbf{k} = -\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k} \]

Таким образом, перпендикулярный вектор — это:

\[ \mathbf{c} = (-1, 3, -1) \]

Шаг 2: Найдем длину (модуль) этого вектора:

\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \]

Шаг 3: Найдем единичный вектор (поделим вектор \( \mathbf{c} \) на его длину):

\[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{c}}{|\mathbf{c}|} = \frac{(-1, 3, -1)}{\sqrt{11}} = \left( \frac{-1}{\sqrt{11}}, \frac{3}{\sqrt{11}}, \frac{-1}{\sqrt{11}} \right) \]

Ответ:

\[ \mathbf{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{11}}(-1, 3, -1) \]

Единичный вектор, перпендикулярный векторам \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), равен: