Нахождение ортогональной проекции вектора на подпространство, а также перпендикуляра, опущенного из этого вектора на то же подпространство

Ортогональная проекция и перпендикуляр вектора на подпространство

Это задание относится к разделу линейной алгебры и требует нахождения ортогональной проекции вектора на подпространство, а также перпендикуляра, опущенного из этого вектора на то же подпространство. Дано:

• Вектор \( \mathbf{x} = (1,3,-6,1) \)
• Подпространство задано натяжкой на векторы \( \mathbf{y_1} = (0,1,2,0), \mathbf{y_2} = (-1,1,0,2), \mathbf{y_3} = (1,1,4,-2) \)

Надо найти ортогональную проекцию и перпендикуляр из вектора \( \mathbf{x} \) на подпространство, натянутое на векторы \( \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \mathbf{y_3} \).

1. Проверка линейной независимости векторов:

Проверим, линейно независимы ли \(\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \mathbf{y}_3\). Если определить матрицу \( Y = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) и найти ее определитель: \( \det(Y) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} \)

Раскладываю по первому столбцу: \( \det(Y) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \)

Следовательно, векторы \(\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \mathbf{y}_3\) линейно зависимы.

2. Нахождение ортогональной проекции:

Найдём проекцию вектора \(\mathbf{x}\) на подпространство. Ортогональная проекция вектора \(\mathbf{x}\) на подпространство \( Y \) из базиса \(\mathbf{y}_1\), \(\mathbf{y}_2\) и \(\mathbf{y}_3\) может быть найдена через использование формулы: \( \mathbf{P}_{Y} (\mathbf{x}) = Y(Y^T Y)^{-1} Y^T \mathbf{x} \)

Сначала значение \( Y^T \): \( Y^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \)

Теперь \( Y^T Y \): \( Y^T Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 10 & 3 \\ 2 & 3 & 21 \end{pmatrix} \)

Найдём значение обратной матрицы \( (Y^T Y)^{-1} \): \((Y^T Y)^{-1} = \)

Теперь перемножим: \( Y P = \)

Найдём вектор проекции: \( \mathbf{y}_p = Y(Y^T Y)^{-1} Y^T \mathbf{x} \)

После нахождения \(\mathbf{y}_p\) из \(\mathbf{x_y}-\mathbf{y}_p \) Ортогональная проекция будет \( \mathbf{P}_{Y} (\mathbf{x}) = \) Остаток \( Ответ будет включать найденные \) и проведите необходимые расчеты