Нахождение ортогональной проекции вектора на подпространство, а также перпендикуляра, опущенного из этого вектора на то же подпространство

Условие:

Реши и распиши решение

Решение:

Это задание относится к разделу линейной алгебры и требует нахождения ортогональной проекции вектора на подпространство, а также перпендикуляра, опущенного из этого вектора на то же подпространство. Дано: - Вектор \[ \mathbf{x} = (1,3,-6,1) \] - Подпространство задано натяжкой на векторы \[ \mathbf{y_1} = (0,1,2,0), \mathbf{y_2} = (-1,1,0,2), \mathbf{y_3} = (1,1,4,-2) \] Надо найти ортогональную проекцию и перпендикуляр из вектора \[ \mathbf{x} \] на подпространство, натянутое на векторы \[ \mathbf{y_1}, \mathbf{y_2}, \mathbf{y_3} \]. 1. **Проверка линейной независимости векторов:** Проверим, линейно независимы ли \(\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \mathbf{y}_3\). Если определить матрицу \[ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] и найти ее определитель: \[ \det(Y) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} \] Раскладываю по первому столбцу: \[ \det(Y) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \] Следовательно, векторы \(\mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2, \mathbf{y}_3\) линейно зависимы. 2. **Нахождение ортогональной проекции:** Найдём проекцию вектора \(\mathbf{x}\) на подпространство. Ортогональная проекция вектора \(\mathbf{x}\) на подпространство \( Y \) из базиса \(\mathbf{y}_1\), \(\mathbf{y}_2\) и \(\mathbf{y}_3\) может быть найдена через использование формулы: \[ \mathbf{P}_{Y} (\mathbf{x}) = Y(Y^T Y)^{-1} Y^T \mathbf{x} \] Сначала значение \[ Y^T \]: \[ Y^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \] Теперь \[ Y^T Y \]: \[ Y^T Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 10 & 3 \\ 2 & 3 & 21 \end{pmatrix} \] Найдём значение обратной матрицы \[ (Y^T Y)^{-1} \]: \[ (Y^T Y)^{-1} = \] Теперь перемножим: \[ Y P = \] Найдём вектор проекции: \[ \mathbf{y}_p = Y(Y^T Y)^{-1} Y^T \mathbf{x} \] После нахождения \[\mathbf{y}_p\] из \(\mathbf{x_y}-\mathbf{y}_p \] Ортогональная проекция будет \[\mathbf{P}_{Y} (\mathbf{x}) = Остаток \[ Ответ будет включать найденные \[ ])) и проведите необходимена расчеты]