Нахождение определителя матриц через преобразование их к треугольному виду

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Определители матриц

Задание состоит в нахождении определителя матриц через преобразование их к треугольному виду. Мы должны утроить матрицы до верхне- или нижнетреугольной формы, а затем воспользоваться свойством, что определитель равен произведению элементов на главной диагонали.

a) Первая матрица:

Исходная матрица:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

Мы будем преобразовывать матрицу, выполняя элементарные преобразования строк, чтобы привести её к треугольному виду.

1. От второй строки вычтем первую, умноженную на 2: \[ S_2 = S_2 - 2S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]
2. От третьей строки вычтем первую, умноженную на 3: \[ S_3 = S_3 - 3S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]
3. От четвёртой строки вычтем первую, умноженную на 4: \[ S_4 = S_4 - 4S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \end{pmatrix} \]
4. Теперь от третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на 2: \[ S_3 = S_3 - 2S_2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \end{pmatrix} \]
5. От четвёртой строки вычтем вторую строку, умноженную на 7: \[ S_4 = S_4 - 7S_2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 \end{pmatrix} \]
6. Теперь изменим четвёртую строку, вычитая третью строку, умноженную на 1: \[ S_4 = S_4 - 1S_3 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 32 \end{pmatrix} \]

Теперь матрица в треугольном виде, и определитель равен произведению элементов на главной диагонали: \[ \det(A) = 1 \times (-1) \times (-4) \times 32 = 128 \]

б) Вторая матрица:

Исходная матрица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ -2 & -4 & -6 & 0 \end{pmatrix} \]

1. От четвёртой строки прибавим первую строку, умноженную на 2, чтобы на первом месте в четвёртой строке получить ноль:
\[ S_4 = S_4 + 2S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \]

Теперь матрица имеет треугольный вид, и определитель равен произведению элементов на главной диагонали:

\[ \det(B) = 1 \times 2 \times 3 \times 8 = 48 \]

Ответ:

а) \(\det(A) = 128\)
б) \(\det(B) = 48\)