Нахождение определителя матриц через преобразование их к треугольному виду

Условие:

Решить

Решение:

**Предмет:** Линейная алгебра **Раздел:** Определители матриц Задание состоит в нахождении определителя матриц через преобразование их к треугольному виду. Мы должны утроить матрицы до верхне- или нижнетреугольной формы, а затем воспользоваться свойством, что определитель равен произведению элементов на главной диагонали. ### a) Первая матрица: Исходная матрица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] Мы будем преобразовывать матрицу, выполняя элементарные преобразования строк, чтобы привести её к треугольному виду. 1. От второй строки вычтем первую, умноженную на 2: \[ S_2 = S_2 - 2S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] 2. От третьей строки вычтем первую, умноженную на 3: \[ S_3 = S_3 - 3S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] 3. От четвёртой строки вычтем первую, умноженную на 4: \[ S_4 = S_4 - 4S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \end{pmatrix} \] 4. Теперь от третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на 2: \[ S_3 = S_3 - 2S_2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \end{pmatrix} \] 5. От четвёртой строки вычтем вторую строку, умноженную на 7: \[ S_4 = S_4 - 7S_2 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 36 \end{pmatrix} \] 6. Теперь изменим четвёртую строку, вычитая третью строку, умноженную на 1: \[ S_4 = S_4 - 1S_3 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 32 \end{pmatrix} \] Теперь матрица в треугольном виде, и определитель равен произведению элементов на главной диагонали: \[ \det(A) = 1 \times (-1) \times (-4) \times 32 = 128 \] ### б) Вторая матрица: Исходная матрица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ -2 & -4 & -6 & 0 \end{pmatrix} \] 1. От четвёртой строки прибавим первую строку, умноженную на 2, чтобы на первом месте в четвёртой строке получить ноль: \[ S_4 = S_4 + 2S_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \] Теперь матрица имеет треугольный вид, и определитель равен произведению элементов на главной диагонали: \[ \det(B) = 1 \times 2 \times 3 \times 8 = 48 \] ### Ответ: а) \(\det(A) = 128\) б) \(\det(B) = 48\)