Нахождение обратной матрицы

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра" и разделу "Матрицы и собственные значения".

Для начала найдем обратную матрицу к матрице \(A\). Дана матрица \(A\):

\[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти обратную матрицу, сначала найдем её определитель (\(\det(A)\)):

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = \left( \frac{1}{3} \cdot 2 \right) - (2 \cdot 2) = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{10}{3} \]

Теперь найденим обратную матрицу \(A^{-1}\) с использованием формулы для обратной матрицы \(2 \times 2\):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

В случае матрицы \(A\):

\[ A^{-1} = \frac{1}{-\frac{10}{3}} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = -\frac{3}{10} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6}{10} & \frac{6}{10} \\ \frac{6}{10} & -\frac{3}{30} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{10} \end{pmatrix} \]

Теперь найдем собственные значения обратной матрицы \(A^{-1}\). Для нахождения собственных значений, нужно решить характеристическое уравнение:

\[ \det(A^{-1} - \lambda I) = 0 \]

\[ A^{-1} - \lambda I = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} - \lambda & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{10} - \lambda \end{pmatrix} \]

\[ \det\left(\begin{pmatrix} -\frac{3}{5} - \lambda & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{10} - \lambda \end{pmatrix}\right) = 0 \]

\[ \left(-\frac{3}{5} - \lambda \right)\left(-\frac{1}{10} - \lambda \right) - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \lambda^2 + \frac{1}{10}\lambda + \frac{3}{5}\lambda + \frac{3}{50} - \frac{9}{25} = 0 \]

\[ \lambda^2 + \frac{1}{10}\lambda + \frac{3}{5}\lambda + \frac{3}/{50} - \frac{18}/{50} = 0 \]

\[ \lambda^2 + \frac{4}/5\lambda - \frac{15}/{50} = \lambda^2 + \frac{4}/{5}\lambda - \frac{3}/{10} =0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Для уравнения \(a = 1\), \(b = \frac{4}{5}\) и \(c = -\frac{3}/{10}\):

\(\lambda = \frac{-\frac{4}/{5} \pm \sqrt{\left(\frac{4}/{5}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{3}/{10}}}{2} = \frac{-\frac{4}/{5} \pm \sqrt{\frac{16}/{25} + \frac{12}/{10}}}{2} =\frac{-\frac{4}/{5} \pm \sqrt{\frac{16}/25 + \frac{30}/25}}{2} = \frac{-\frac{4}/{5} \pm \sqrt{\frac{46}/{25}}}{2} = \frac{-\frac{4}/{5} \pm \frac{\sqrt{46}/5}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{46}}{10}\)

Собственные значения \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) обратной матрицы \(A^{-1}\) это \(\frac{ -4 + \sqrt{46}}{10}\) и \(\frac{-4 - \sqrt{46}}{10}\)

Произведение собственных чисел равно

\[ \frac{-4 + \sqrt{46}}{10} \cdot \frac{-4 - \sqrt{46}}{10}=\frac{( -4 + \sqrt{46})(-4 - \sqrt{46})}{100} = \frac{16 - 46}/{100} = \frac{-30}/{100} = -0.25 \]

Ответ: -0.25.