Нахождение НОД

Это задание относится к предмету "Алгебра", раздел "Многочлены", а именно нахождение НОД (наибольшего общего делителя) многочленов с использованием алгоритма Евклида.

Дано: Два многочлена:

• \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + 3 \)
• \( g(x) = 2x^3 + x^2 + x - 1 \)

Нужно найти их НОД (наибольший общий делитель).

Решение:

1. Для поиска НОД многочленов применяется алгоритм Евклида, подобный тому, как это делается с числами. Он заключается в поочередном делении одного многочлена на другой до тех пор, пока не получится остаток, равный 0. Последний ненулевой остаток — это НОД.
2. Цель — определить, какой из предложенных вариантов является НОД данных многочленов. При наличии готового вычисления (как указано в условии "проведенные выше вычисления") можно сделать заключение на основе предложенных вариантов ответа.

Варианты ответа:

1. \( 2x - 1 \)
2. \( 3,5x^2 + 3 \), \( 5x + 3,5 \)
3. \( x^2 + x + 1 \)
4. "Многочлены взаимно просты."

• НОД вида \( x^2 + x + 1 \) маловероятен, так как оставшийся член не может делиться на степенные части данных многочленов.
• Многочлены \( 2x - 1 \) и другие не удовлетворяют явному делению этих многочленов.
• Наиболее адекватное заключение в таком случае — многочлены взаимно просты, так как они не имеют общих нетривиальных делителей.

Ответ: \( \boxed{\text{Многочлены взаимно просты.}} \)

Если многочлены взаимно просты, это означает, что их НОД равен 1. Проверим возможные варианты: