Нахождение матрицы оператора (BA)(x), который является композицией двух линейных преобразований

Условие:

решить

Решение:

Это задание относится к предмету "линейная алгебра" и разделу "матричные преобразования". Нам нужно найти матрицу оператора \(BA(x)\), который является композицией двух линейных преобразований \(A\) и \(B\). Для начала определим матрицы данных преобразований \(A\) и \(B\). Преобразование \(А\): \[ \begin{cases} y_1 = 2x_1 - 3x_2 \\ y_2 = x_2 - 2x_1 \end{cases} \] Запишем это линейное преобразование в матричной форме: \[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] Таким образом, матрица \(А\) будет: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \] Преобразование \(B\): \[ \begin{cases} y_1 = x_1 + 2x_2 \\ y_2 = -x_2 \end{cases} \] Запишем это линейное преобразование в матричной форме: \[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] Таким образом, матрица \(B\) будет: \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] Теперь найдем произведение матриц \(B\) и \(A\) (матрицу оператора \(BA\)): \[ BA = B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \] Вычислим произведение: \[ BA = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) & 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) & 0 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 4 & -3 + 2 \\ 0 + 2 & 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Таким образом, матрица оператора \(BA(x)\): \[ \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ \boxed{\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}} \]