Нахождение матрицы, обратной данной матрице А, и последующему вычислению произведения

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и их свойства (обратная матрица)

Заданный вопрос относится к нахождению матрицы, обратной данной матрице \( A \), и последующему вычислению произведения \( A \cdot A^{-1} \), где \( A^{-1} \) — обратная матрица для матрицы \( A \).

Даны матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 2 & 5 & -3 \\ 4 & -3 & 2 \end{pmatrix}. \]

Необходимо найти \( A \cdot A^{-1} \).

1. Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Для нахождения обратной матрицы выполним несколько шагов:

1. Найдем определитель матрицы \( A \):

   \[ \text{det}(A) = 1 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}. \]

   Теперь вычисляем отдельно каждый минор:

   Для первого минора: \[ \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-4 \cdot 1) - (1 \cdot -3) = -4 + 3 = -1. \]

   Для второго минора: \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (1 \cdot 4) = 2 - 4 = -2. \]

   Для третьего минора: \[ \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (2 \cdot -3) - (-4 \cdot 4) = -6 + 16 = 10. \]

   Теперь можно посчитать определитель: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 10 = -1 + 2 - 10 = -9. \]

2. Найдем союзную матрицу \( A^* \)

   Союзная матрица \( A^* \) состоит из алгебраических дополнений элементов матрицы \( A \). Для каждой позиции (\( i, j \)) мы вычисляем соответствующий минор и умножаем его на \( (-1)^{i+j} \).

   Теперь найдем миноры для всех элементов:

   Для \( A_{11} \): \[ \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad (-1)^{1+1} = 1 \quad \Rightarrow \quad A_{11} = -1. \]

   Для \( A_{12} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad (-1)^{1+2} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_{12} = 2. \]

   Для \( A_{13} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 10, \quad (-1)^{1+3} = 1 \quad \Rightarrow \quad A_{13} = 10. \]

   Для \( A_{21} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad (-1)^{2+1} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_{21} = -2. \]

   Для \( A_{22} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 5, \quad (-1)^{2+2} = 1 \quad \Rightarrow \quad A_{22} = 5. \]

   Для \( A_{23} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -7, \quad (-1)^{2+3} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_{23} = 7. \]

   Для \( A_{31} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = -3, \quad (-1)^{3+1} = 1 \quad \Rightarrow \quad A_{31} = -3. \]

   Для \( A_{32} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3, \quad (-1)^{3+2} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_{32} = -3. \]

   Для \( A_{33} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -6, \quad (-1)^{3+3} = 1 \quad \Rightarrow \quad A_{33} = -6. \]

   Союзная матрица: \[ A^* = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 10 \\ -2 & 5 & 7 \\ -3 & -3 & -6 \end{pmatrix}. \]

3. Транспонируем союзную матрицу

   Транспонированная матрица: \[ (A^*)^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & -3 \\ 10 & 7 & -6 \end{pmatrix}. \]

4. Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \):

   Обратная матрица вычисляется по формуле: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} (A^*)^T. \]

   Так как \( \text{det}(A) = -9 \), то: \[ A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & -3 \\ 10 & 7 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{3}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{3}{9} \\ -\frac{10}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{6}{9} \end{pmatrix}. \]

2. Найдем произведение \( A \cdot A^{-1} \)

Произведение матрицы на её обратную должно давать единичную матрицу: \[ A \cdot A^{-1} = I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]