Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные операторы и матрицы".
Задание
Необходимо найти матрицу линейного оператора \(A(x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_1 + 2x_2, x_2 + 3x_3)\) в стандартном базисе, составленном из единичных векторов.
Решение
- Представим линейный оператор \(A\) в виде матрицы. Пусть векторы стандартного базиса в пространстве \(\mathbb{R}^3\) - это:
\[
e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
- Нам нужно вычислить образы этих векторов под действием оператора \(A\).
\[
A(e_1) = A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
\[
A(e_2) = A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
\[
A(e_3) = A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
- Столбцы матрицы линейного оператора \(A\) в стандартном базисе - это образы единичных векторов. Тогда матрица \(A\) будет:
\[
A = \begin{pmatrix} | & | & | \\ A(e_1) & A(e_2) & A(e_3) \\ | & | & | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
Проверка
Чтобы проверить, правильно ли найдено решение, умножим матрицу \(A\) на произвольный вектор:
\[
A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ 1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 + 2x_2 \\ x_2 + 3x_3 \end{pmatrix}
\]
Результат совпадает с заданным линейным оператором, значит, решение верное.
Ответ
Матрица линейного оператора \(A\) в стандартном базисе:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
\]