Нахождение матрицы линейного оператора

Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные операторы и матрицы".

Задание

Необходимо найти матрицу линейного оператора \(A(x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_1 + 2x_2, x_2 + 3x_3)\) в стандартном базисе, составленном из единичных векторов.

Решение

1. Представим линейный оператор \(A\) в виде матрицы. Пусть векторы стандартного базиса в пространстве \(\mathbb{R}^3\) - это: \[ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
2. Нам нужно вычислить образы этих векторов под действием оператора \(A\). \[ A(e_1) = A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ A(e_2) = A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ A(e_3) = A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \]
3. Столбцы матрицы линейного оператора \(A\) в стандартном базисе - это образы единичных векторов. Тогда матрица \(A\) будет: \[ A = \begin{pmatrix} | & | & | \\ A(e_1) & A(e_2) & A(e_3) \\ | & | & | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Проверка

Чтобы проверить, правильно ли найдено решение, умножим матрицу \(A\) на произвольный вектор: \[ A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ 1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 + 2x_2 \\ x_2 + 3x_3 \end{pmatrix} \] Результат совпадает с заданным линейным оператором, значит, решение верное.

Ответ

Матрица линейного оператора \(A\) в стандартном базисе: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]