Нахождение матрицы квадратной формы для формулы в 5 варианте

Условие:

5 вариант

Решение:

Этот вопрос относится к курсу линейной алгебры, а точнее к разделу о квадратных формах и преобразованиях. В данном случае задание заключается в нахождении матрицы данной квадратной формы для формулы в 5 варианте \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2 - 2x_1x_3 \). Итак, рассмотрим выражение \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2 - 2x_1x_3 \). Мы имеем переменные \( x_1, x_2, x_3 \) и \( x_4 \), которые участвуют в функции. Запишем квадратичную форму в виде: \[ f(x) = \frac{1}{2} x^T A x \] где \( x \) — вектор-столбец переменных, а \( A \) — симметрическая матрица. Определим матрицу \( A \) из выражения квадратичной формы: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \] Каждый элемент этой матрицы соответствует коэффициенту перед произведением переменных в выражении функции. 1. Для \( x_1 x_2 \): \[ a_{12} + a_{21} = 1 \] 2. Для \( -2 x_1 x_3 \) (помним, функция симметрическая): \[ a_{13} + a_{31} = -2 \] Другие коэффициенты \( a_{ij} \), где \( i \neq j \) и не указаны в функции, равны нулю. Так как \( a_{ij} = a_{ji} \) (симметрия матрицы), мы можем переписать: \[ a_{12} = \frac{1}{2}, \quad a_{21} = \frac{1}{2} \] \[ a_{13} = -1, \quad a_{31} = -1 \] Теперь заполняем оставшиеся элементы матрицы нулями: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Итак, мы представили квадратичную форму \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 \) в виде симметрической матрицы \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Таким образом, данная матрица и есть результат преобразования вашей квадратной формы.