Может ли матрица быть матрицей Грама?

Это задание относится к линейной алгебре, а именно к разделу матричной алгебры и векторных операций (скалярное произведение векторов). Давайте разберёмся с каждым пунктом подробно.

Задание №6:

1. Может ли матрица \( M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \) быть матрицей Грама?

Матрица Грама строится на основе набора векторов, и она является симметричной. Её элементы \( G_{ij} \) равны скалярным произведениям векторов \( v_i \) и \( v_j \). То есть:

\[ M_{ij} = (v_i, v_j) \]

Первое, что мы можем проверить, — это симметричность матрицы \( M \). Чтобы матрица могла быть матрицей Грама, она должна быть симметричной. Для этого элементы \( M \) должны удовлетворять условию \( M_{ij} = M_{ji} \).

Рассмотрим матрицу \( M \):

\[ M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

Видим, что матрица действительно является симметричной, так как:

\[ M_{12} = M_{21}, \quad M_{13} = M_{31}, \quad M_{23} = M_{32} \]

Следовательно, матрица может быть матрицей Грама.

2. Найдём скалярное произведение \( a = (1, -2, 2) \) и \( b = (2, -3, 0) \).

Формула для скалярного произведения двух векторов:

\[ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Теперь подставим компоненты векторов \( a \) и \( b \):

\[ a \cdot b = (1 \cdot 2) + (-2 \cdot -3) + (2 \cdot 0) \]

Посчитаем:

\[ = 2 + 6 + 0 = 8 \]

Ответ: Скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \) равно \( 8 \).

3. Найдём значение выражения \( |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - e_3 \cdot e_2 - \text{cos}(e_1, e_2) \).

Это более общее выражение, но думаю, оно связано с предыдущим пунктом. Деталей полных для расчета вектора \( e_1, e_2 \), и \( e_3 \) не хватает.