Методы решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами". Приведу пример такого уравнения, после чего рассмотрим его решение. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: \[ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 \]

Метод 1: Метод варьирования параметра

Шаг 1: Найти обыкновенное решение

Предположим, что \( y_1 \) — известное частное решение уравнения. Подставляем \( y_1 \) и находим его производные \( y_1' \) и \( y_1'' \).

Шаг 2: Варьирование параметра

Ищем решение в виде \( y = u(x) y_1(x) \). Находим производные \( y \):

\[ y' = u' y_1 + u y_1' \] \[ y'' = u'' y_1 + 2u' y_1' + u y_1'' \]

Подставляем их в исходное уравнение:

\[ u'' y_1 + 2u' y_1' + u y_1'' + p(x) (u' y_1 + u y_1') + q(x) u y_1 = 0 \]

Шаг 3: Упростить уравнение

Поскольку \( y_1 \) является решением:

\[ y_1'' + p(x) y_1' + q(x) y_1 = 0 \]

У нас остается:

\[ u'' y_1 + u' (2 y_1' + p(x) y_1) = 0 \]

Шаг 4: Разделение переменных

Запишем уравнение:

\[ u'' y_1 = -u' (2 y_1' + p(x) y_1) \]

Ищем решение для \( u(x) \) методом разделения переменных. Интегрируем по обеим сторонам.

Пример

Уравнение: \[ y'' - \frac{2}{x} y' + \frac{2}{x^2} y = 0 \]

1. Ищем частное решение, \( y_1 = x^2 \):

   \[ y_1' = 2x \] \[ y_1'' = 2 \]

2. Проверяем:

   \[ 2 - \frac{2}{x} \cdot 2x + \frac{2}{x^2} \cdot x^2 = 2 - 4 + 2 = 0 \]

   Значит, \( y_1 = x^2 \) — частное решение.

3. Составляем решение \( y = u(x) x^2 \):

   \[ y' = u' x^2 + 2ux \] \[ y'' = u'' x^2 + 4ux + 2u \]

   Подставляем в уравнение:

   \[ u'' x^2 + 4ux + 2u - \frac{2}{x} (u' x^2 + 2ux) + \frac{2}{x^2} u x^2 = 0 \]

   После упрощения:

   \[ u'' x^2 + u' (4x - 2x) = 0 \] \[ x^2 u'' + 2xu' = 0 \] \[ u'' + \frac{2}{x} u' = 0 \]

   Интегрируем по частям:

   \[ u' = \frac{C}{x^2} \] \[ u = \int \frac{C}{x^2} \, dx = -\frac{C}{x} + C_2 \]

   Общее решение:

   \[ y = x^2 \left(-\frac{C}{x} + C_2 \right) = C_1 x + C_2 x^2 \]

   Таким образом, метод варьирования параметра позволяет получить общее решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В этом случае, \( y = C_1 x + C_2 x^2 \). Используйте подобный подход для решения других уравнений, подходя к каждому случаю индивидуально.