Методы решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами". Приведу пример такого уравнения, после чего рассмотрим его решение. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: $\text{[}{y}^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0\text{]}$

Метод 1: Метод варьирования параметра

Шаг 1: Найти обыкновенное решение

Предположим, что $\text{(}{y}_1\text{)}$ — известное частное решение уравнения. Подставляем $\text{(}{y}_1\text{)}$ и находим его производные $\text{(}{y}_1^{\prime }\text{)}$ и $\text{(}{y}_1^{″}\text{)}$.

Шаг 2: Варьирование параметра

Ищем решение в виде $\text{(}y=u(x)y_1(x)\text{)}$. Находим производные $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}{y}^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime }\text{]}\text{[}{y}^{″}=u^{″}{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{″}\text{]}$

Подставляем их в исходное уравнение:

$\text{[}{u}^{″}{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{″}+p(x)(u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime })+q(x)u{y}_1=0\text{]}$

Шаг 3: Упростить уравнение

Поскольку $\text{(}{y}_1\text{)}$ является решением:

$\text{[}{y}_1^{″}+p(x)y_1^{\prime }+q(x)y_1=0\text{]}$

У нас остается:

$\text{[}{u}^{″}{y}_1+u^{\prime }(2y_1^{\prime }+p(x)y_1)=0\text{]}$

Шаг 4: Разделение переменных

Запишем уравнение:

$\text{[}{u}^{″}{y}_1=-u^{\prime }(2y_1^{\prime }+p(x)y_1)\text{]}$

Ищем решение для $\text{(}u(x)\text{)}$ методом разделения переменных. Интегрируем по обеим сторонам.

Пример

Уравнение: $\text{[}{y}^{″}-\frac{2}{x}{y}^{\prime }+\frac{2}{x^2}y=0\text{]}$

1. Ищем частное решение, $\text{(}{y}_1=x^2\text{)}$:

   $\text{[}{y}_1^{\prime }=2x\text{]}\text{[}{y}_1^{″}=2\text{]}$

2. Проверяем:

   $\text{[}2-\frac{2}{x}\cdot 2x+\frac{2}{x^2}\cdot x^2=2-4+2=0\text{]}$

   Значит, $\text{(}{y}_1=x^2\text{)}$ — частное решение.

3. Составляем решение $\text{(}y=u(x)x^2\text{)}$:

   $\text{[}{y}^{\prime }=u^{\prime }{x}^2+2ux\text{]}\text{[}{y}^{″}=u^{″}{x}^2+4ux+2u\text{]}$

   Подставляем в уравнение:

   $\text{[}{u}^{″}{x}^2+4ux+2u-\frac{2}{x}(u^{\prime }{x}^2+2ux)+\frac{2}{x^2}u{x}^2=0\text{]}$

   После упрощения:

   $\text{[}{u}^{″}{x}^2+u^{\prime }(4x-2x)=0\text{]}\text{[}{x}^2{u}^{″}+2x{u}^{\prime }=0\text{]}\text{[}{u}^{″}+\frac{2}{x}{u}^{\prime }=0\text{]}$

   Интегрируем по частям:

   $\text{[}{u}^{\prime }=\frac{C}{x^2}\text{]}\text{[}u=\int \frac{C}{x^2}dx=-\frac{C}{x}+C_2\text{]}$

   Общее решение:

   $\text{[}y=x^2(-\frac{C}{x}+C_2)=C_{1}x+C_2{x}^2\text{]}$

   Таким образом, метод варьирования параметра позволяет получить общее решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В этом случае, $\text{(}y=C_{1}x+C_2{x}^2\text{)}$. Используйте подобный подход для решения других уравнений, подходя к каждому случаю индивидуально.