Метод решения систем уравнений методом Гаусса-Жордана

Предмет данного задания - это математика, а раздел - линейная алгебра, метод решения систем уравнений методом Гаусса-Жордана.

У нас есть три линейных уравнения:

1. \( x + 2y + z = 2 \)
2. \( -5x + 5y - 9z = -6 \)
3. \( 2x + 4y = -8 \)

Запишем это в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ -5 & 5 & -9 & | & -6 \\ 2 & 4 & 0 & | & -8 \\ \end{bmatrix} \]

Теперь применим метод Гаусса-Жордана:

1. Начнем с первой строки и приведем её к виду, где первый элемент равен 1 (что уже так).
2. Обнулим элементы первого столбца ниже первой строки:
   • Для второй строки: Умножим первую строку на 5 и прибавим ко второй: \[ 5 \times (1, 2, 1 | 2) + (-5, 5, -9 | -6) = (0, 15, -4 | 4) \]
   • Для третьей строки: Умножим первую строку на -2 и прибавим к третьей: \[ -2 \times (1, 2, 1 | 2) + (2, 4, 0 | -8) = (0, 0, -2 | -12) \]

Новая матрица:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 15 & -4 & | & 4 \\ 0 & 0 & -2 & | & -12 \\ \end{bmatrix} \]

3. Приведем третий элемент в третьей строке к 1, разделив третью строку на -2: \[ (0, 0, -2 | -12) \rightarrow (0, 0, 1 | 6) \]

Матрица становится:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 15 & -4 & | & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \\ \end{bmatrix} \]

4. Обнулим элементы в третьем столбце выше:
   • Для второй строки: Умножим третью строку на 4 и прибавим ко второй: \[ 4 \times (0, 0, 1 | 6) + (0, 15, -4 | 4) = (0, 15, 0 | 28) \]

Теперь матрица:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 15 & 0 & | & 28 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \\ \end{bmatrix} \]

5. Приведем элемент во второй строке и втором столбце к 1, разделив вторую строку на 15: \[ (0, 15, 0 | 28) \rightarrow (0, 1, 0 | \frac{28}{15}) \]

Теперь матрица:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{28}{15} \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \\ \end{bmatrix} \]

6. Обнулим элементы второго столбца в первой строке, отнимая вторую строку, умноженную на 2: \[ -2 \times (0, 1, 0 | \frac{28}{15}) + (1, 2, 1 | 2) = (1, 0, 1 | 2 - \frac{56}{15}) \]

Упростим выражение для первой строки:

2 - \frac{56}{15} = \frac{30}{15} - \frac{56}{15} = -\frac{26}{15}

Новая матрица:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & -\frac{26}{15} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{28}{15} \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \\ \end{bmatrix} \]

Отсюда видно, что:

• x + z = -\frac{26}{15}
• y = \frac{28}{15}
• z = 6

Находим x:

x = -\frac{26}{15} - z = -\frac{26}{15} - 6
x = -\frac{26}{15} - \frac{90}{15} = -\frac{116}{15}

• x = -\frac{116}{15}
• y = \frac{28}{15}
• z = 6