Матрицы, миноры и алгебраические дополнения

Предмет: Линейная алгебра

Раздел предмета: Матрицы, миноры и алгебраические дополнения.

Пошаговое решение:

1. Поиск миноров
   Для начала нам нужно найти миноры \( M_{1,3}^{1,2} \). Минором называется определитель матрицы, полученной путем вычеркивания из исходной матрицы определенных строк и столбцов. Здесь индексы миноров означают следующее:
   • Верхние индексы \( ^{1,2} \) обозначают строки, которые нужно исключить.
   • Нижние индексы \( _{1,3} \) обозначают столбцы, которые нужно исключить.
2. Исключаем строки и столбцы
   Из матрицы \( A \) исключим строки 1 и 2, а также столбцы 1 и 3: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 5 & -1 \\ -2 & 1 & 0 & -3 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 6 & 7 \\ \end{pmatrix} \] Получаем матрицу: \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \]
3. Вычисление определителя
   Определитель этой матрицы (минор): \[ \text{det}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = (-3) \cdot 7 - 2 \cdot 4 = -21 - 8 = -29 \]
4. Ищем дополнение
   Дополнение минору \( M_{1,3}^{1,2} \) означает вычисление алгебраического дополнения, которое определяется знаком \((-1)^{i+j}\) и соответствующим минором. Для \( M_{1,3}^{1,2} \), \( i = 1 \) и \( j = 3 \): \[ (-1)^{1+3} = (-1)^4 = 1 \] Таким образом, алгебраическое дополнение \( \text{A}_{1,3}^{1,2} \) равно: \[ (-1)^{1+3} \cdot \text{det}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-29) = -29 \]