Матрицы, миноры и алгебраические дополнения

Условие:

Решение:

**Предмет:** Линейная алгебра **Раздел предмета:** Матрицы, миноры и алгебраические дополнения. ### Пошаговое решение: 1. **Поиск миноров** Для начала нам нужно найти миноры \( M_{1,3}^{1,2} \). Минором называется определитель матрицы, полученной путем вычеркивания из исходной матрицы определенных строк и столбцов. Здесь индексы миноров означают следующее: - Верхние индексы \( ^{1,2} \) обозначают строки, которые нужно исключить. - Нижние индексы \( _{1,3} \) обозначают столбцы, которые нужно исключить. 2. **Исключаем строки и столбцы** Из матрицы \( A \) исключим строки 1 и 2, а также столбцы 1 и 3: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 5 & -1 \\ -2 & 1 & 0 & -3 \\ 4 & -3 & 1 & 2 \\ -1 & 4 & 6 & 7 \\ \end{pmatrix} \] Получаем матрицу: \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \] 3. **Вычисление определителя** Определитель этой матрицы (минор): \[ \text{det}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = (-3) \cdot 7 - 2 \cdot 4 = -21 - 8 = -29 \] 4. **Ищем дополнение** Дополнение минору \( M_{1,3}^{1,2} \) означает вычисление алгебраического дополнения, которое определяется знаком \((-1)^{i+j}\) и соответствующим минором. Для \( M_{1,3}^{1,2} \), \( i = 1 \) и \( j = 3 \): \[ (-1)^{1+3} = (-1)^4 = 1 \] Таким образом, алгебраическое дополнение \( \text{A}_{1,3}^{1,2} \) равно: \[ (-1)^{1+3} \cdot \text{det}\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-29) = -29 \] **Ответ:** Алгебраическое дополнение \( M_{1,3}^{1,2} \) равно \(-29\).