Матрицы и системы линейных уравнений

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и системы линейных уравнений

Задача 2. Найти обратную матрицу ( A^{-1} ) для матрицы ( A ):

Дана матрица:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Обратная матрица ( A^{-1} ) существует, если матрица ( A ) невырожденная, то есть её определитель не равен нулю.

Шаг 1. Вычислим определитель матрицы ( A ):
 \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}. 

Разложим определитель по первой строке:
 \text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix}. 

Вычислим минор:
 \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1. 

Таким образом:
\text{det}(A) = 1 \cdot (-1) = -1.

Определитель не равен нулю, значит, матрица ( A ) обратима.

Шаг 2. Найдём обратную матрицу ( A^{-1} ) методом алгебраических дополнений:
Обратная матрица вычисляется по формуле:
 A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A), 
где ( \text{adj}(A) ) — присоединённая матрица.

Присоединённая матрица ( \text{adj}(A) ) состоит из алгебраических дополнений элементов матрицы ( A ), транспонированных.

Шаг 3. Вычислим алгебраические дополнения:

1. Минор элемента ( a_{11} = 1 ):
    M_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = -1. 

2. Минор элемента ( a_{12} = 0 ):
    M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = 0. 

3. Минор элемента ( a_{13} = 0 ):
    M_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = 1. 

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения.

Присоединённая матрица:
 \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. 

Шаг 4. Найдём ( A^{-1} ):
 A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ -1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}. 

Ответ:
 A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ -1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}. 

Задача 3. Решить матричное уравнение ( XA = B ):

Даны:
 A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 3 & 6 \end{pmatrix}. 

Уравнение ( XA = B ) решается как ( X = B A^{-1} ).

Шаг 1. Найдём ( A^{-1} ):
Определитель матрицы ( A ):
 \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 2 \ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (2 \cdot 1) = 4 - 2 = 2. 

Обратная матрица:
 A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}. 

Шаг 2. Вычислим ( X = B A^{-1} ):
 X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 3 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}. 

Выполним умножение:
 X = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1 + 0 \cdot -\frac{1}{2}) & (1 \cdot -1 + 0 \cdot 1) \ (3 \cdot 1 + 6 \cdot -\frac{1}{2}) & (3 \cdot -1 + 6 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}. 

Ответ:
 X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}. 

Задача 4. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

Дана матрица:
 A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 4 \ 2 & 2 & 3 & 2 \ 2 & -2 & 4 & 4 \end{pmatrix}. 

Шаг 1. Приведём матрицу к ступенчатому виду:

1. Оставляем первую строку без изменений:
    \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 4 \ 2 & 2 & 3 & 2 \ 2 & -2 & 4 & 4 \end{pmatrix}. 

2. Обнуляем элементы под первым элементом первой строки (первый столбец). Для этого:
    R_2 \to R_2 - \frac{2}{3} R_1, \quad R_3 \to R_3 - \frac{2}{3} R_1. 

После преобразований:
 \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 4 \ 0 & \frac{4}{3} & \frac{11}{3} & \frac{-4}{3} \ 0 & -\frac{8}{3} & \frac{14}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix}. 

3. Приводим второй столбец:
    R_3 \to R_3 + 2 R_2. 

После преобразований:
 \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 4 \ 0 & \frac{4}{3} & \frac{11}{3} & \frac{-4}{3} \ 0 & 0 & 10 & 0 \end{pmatrix}. 

Шаг 2. Определяем ранг:
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк. В данном случае ранг равен 3.

Ответ:
\text{rank}(A) = 3.