Матрицы и их применение в криптографии (кодирование и декодирование сообщений)

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и их применение в криптографии (кодирование и декодирование сообщений)

Разбор задания:

Нам дана матрица
 \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 2 \end{bmatrix} 
которая используется для кодирования чисел, соответствующих буквам:
А → 1, Д → 5, Ч → 25, И → 10, У → 21.

Закодированные числа:
115, 47, 55, 27, 50, 20

Задача — декодировать этот код, то есть найти исходные числа, а затем восстановить слово.

Метод решения:

1. Разбить закодированные числа на пары, так как матрица размером (2 \times 2), следовательно, кодирование происходило блоками по два элемента: [ (115, 47), (55, 27), (50, 20) ]

2. Найти обратную матрицу
   Для декодирования необходимо найти обратную матрицу
    A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 2 \end{bmatrix}^{-1} 
   Обратная матрица находится по формуле:
    A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) 
   где
    \det(A) = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 5 = 8 - 25 = -17 

   Матрица алгебраических дополнений (алгебраическое сопряжение):
    \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -5 \ -5 & 4 \end{bmatrix} 

   Тогда обратная матрица:
    A^{-1} = \frac{1}{-17} \begin{bmatrix} 2 & -5 \ -5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/17 & 5/17 \ 5/17 & -4/17 \end{bmatrix} 

3. Умножить обратную матрицу на вектор закодированных чисел
   Для каждой пары (x, y) выполняем умножение:  \begin{bmatrix} -2/17 & 5/17 \ 5/17 & -4/17 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 115 \ 47 \end{bmatrix} 
   и аналогично для других пар.

4. Полученные числа сопоставить с буквами, используя исходное соответствие.

Ожидаемый результат:

После вычислений (которые можно выполнить вручную или в Python/Matlab), мы получим исходные числа и восстановим слово.
Судя по вариантам ответа, правильный ответ — "удача".