Матричным методом найти решение системы

Этот вопрос относится к предмету линейной алгебры, которая является частью математики.

Для решения системы линейных уравнений методом матриц (например, методом Крамера, методом обратной матрицы или методом Гаусса) необходимо записать систему уравнений в матричной форме: \[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \] где \[ A \] - матрица коэффициентов, \[ \mathbf{x} \] - вектор неизвестных, \[ \mathbf{b} \] - вектор свободных членов.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

Система: \[\begin{cases} 2x_1 + 4x_3 = 2 \\ -x_1 + x_2 - 2x_3 = -1 \\ 3x_2 + x_3 = 1 \end{cases}\]

Матрица коэффициентов \(A\), вектор неизвестных \(\mathbf{x}\) и вектор свободных членов \( \mathbf{b}\) будут следующими: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Используем метод Гаусса для решения этой системы.

Шаг 1: Прямой ход

1. Первая строка уже в порядке.
2. Приведем вторую строку к нужному виду: \(-R_1 + R_2 \rightarrow R_2\) Вычтем первую строку, умноженную на 1/2, из второй: \[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 & | & 2 \\ -1 & 1 & -2 & | & -1 \\ 0 & 3 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 & | & 2 \\ 0 & 1 & -4 & | & 0 \\ 0 & 3 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}\]
3. Приведем третью строку к нужному виду: \(-3 \times R_2 + R_3 \rightarrow R_3\) Вычтем 3 умноженной на вторую строку из третей строки: \[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 & | & 2 \\ 0 & 1 & -4 & | & 0 \\ 0 & 3 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 & | & 2 \\ 0 & 1 & -4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 13 & | & 1 \end{pmatrix}\]

Шаг 2: Обратный ход

1. Из последней строки определяется \(x_3\): \[ 13x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = \frac{1}{13} \]
2. Вторую строку: \[ x_2 - 4x_3 = 0 \] Подставим значение \(x_3\): \[ x_2 - 4 \times \frac{1}{13} = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{4}{13} \]
3. Первую строку: \[ 2x_1 + 4x_3 = 2 \] Подставим значение \(x_3\): \[ 2x_1 + 4 \times \frac{1}{13} = 2 \Rightarrow 2x_1 + \frac{4}{13} = 2 \Rightarrow 2x_1 = 2 - \frac{4}{13} \Rightarrow 2x_1 = \frac{26}{13} - \frac{4}{13} = \frac{22}{13} \Rightarrow x_1 = \frac{11}{13} \]

Таким образом, решение системы: \[ x_1 = \frac{11}{13}, \quad x_2 = \frac{4}{13}, \quad x_3 = \frac{1}{13} \]