Линейная алгебра, определители матриц, тригонометрические уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Линейная алгебра, определители матриц, тригонометрические уравнения

Дано уравнение с определителем матрицы:

 \begin{vmatrix} \sin 2x & -\cos 2x \ \sin 3x & \cos 3x \end{vmatrix} = 0 

1. Вычислим определитель матрицы:

Определитель ( 2 \times 2 ) матрицы вычисляется по формуле:

 \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc 

Подставляем элементы матрицы:

 \sin 2x \cdot \cos 3x - (-\cos 2x \cdot \sin 3x) = \sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x 

Используем тригонометрическую формулу суммы синусов:

 \sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin (A+B) 

Тогда:

 \sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x = \sin (2x + 3x) = \sin 5x 

2. Решаем уравнение:

 \sin 5x = 0 

Решение основного тригонометрического уравнения:

 5x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} 

Отсюда:

 x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} 

3. Ответ:

 x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}