Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора

Условие:

решить и расписать решение Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(1,3,-6,1) на подпространство, натянутое на векторы y1=(0,1,2,0), y2=(-1,1,0,2), y3=(1,1,4,-2)

Решение:

Это задание относится к предмету "Высшая математика", а конкретно к разделу "Линейная алгебра". В данном задании требуется найти ортогональную проекцию вектора \( x \) на подпространство, натянутое на векторы \( y_1, y_2, y_3 \), и перпендикуляр, опущенный из вектора \( x \) на это подпространство. Для решения задания необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Построить матрицу из векторов \( y_1, y_2, y_3 \)**, которые будут образовывать базис нашего подпространства. 2. **Найти ортонормированный базис пространства методом Грама-Шмидта**. 3. **Найти проекцию вектора \( x \) на это подпространство**. 4. **Найти перпендикуляр** \( x \) к подпространству. ### Шаг 1: Построить матрицу из векторов \( y_1, y_2, y_3 \) Запишем векторы \( y_1, y_2, y_3 \) в виде столбцов матрицы \( Y \): \[ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Найти ортонормированный базис пространства методом Грама-Шмидта #### Ортогонализация 1. \( u_1 = y_1 \): \[ u_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \] 2. \( u_2 = y_2 - \text{proj}_{u_1} y_2 \): Сначала найдём \(\text{proj}_{u_1} y_2\): \[ \text{proj}_{u_1} y_2 = \frac{(y_2 \cdot u_1)}{(u_1 \cdot u_1)} u_1 \] \[ y_2 \cdot u_1 = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 1 \] \[ u_1 \cdot u_1 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 0^2 = 1 + 4 = 5 \] \[ \text{proj}_{u_1} y_2 = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \] Ортогонализируем \( y_2 \): \[ u_2 = y_2 - \text{proj}_{u_1} y_2 \] \[ u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 - \frac{1}{5} \\ - \frac{2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{4}{5} \\ -\frac{2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} \] 3. \( u_3 = y_3 - \text{proj}_{u_1} y_3 - \text{proj}_{u_2} y_3 \): Сначала найдем \(\text{proj}_{u_1} y_3\): \[ y_3 \cdot u_1 = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 2 \cdot 0 = 9 \] \[ \text{proj}_{u_1} y_3 = \frac{9}{5} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{9}{5} \\ \frac{18}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \] Теперь найдем \(\text{proj}_{u_2} y_3\): \[ y_3 \cdot u_2 = 1 \cdot -1 + 1 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot -\frac{2}{5} + -2 \cdot 2 = -1 + \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - 4 = -5 \] \[ u_2 \cdot u_2 = (-1)^2 + \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \left( -\frac{2}{5} \right)^2 + 2^2 = 1 + \frac{16}{25} + \frac{4}{25} + 4 = 5 + \frac{20}{25} = 5.8 \] \[ \text{proj}_{u_2} y_3 = \frac{-5}{5.8} \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{4}{5} \\ -\frac{2}{5} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{5.8} \\ -\frac{4}{5.8} \\ \frac{2}{5.8} \\ -\frac{10/5.8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{5.8} \\ -\frac{4}{5.8} \\ \frac{2}{5.8} \\ -\frac{10}{5.8} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.862 \\ -0.69 \\ 0.345 \\ -1.72 \end{pmatrix} \] Замечание : некоторые промежуточные или точные значения могут округляться. После этого : \[ u_3 = y_3 - \text{proj}_{u_1} y_3 - \text{proj}_{u_2} y_3 \] \[ u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{9}{5} \\ \frac{18}{5} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \approx 0.862 \\ - \approx 0.69 \\ \approx 0.345 \\ - \approx 1.72 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{9}{5} \\ \frac{18}{5} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \approx 0.862 \\ - \approx 0.69 \\ \approx 0.345 \\ - \approx 1.72 \end{pmatrix}... ( нужно буравать на доработку) У нас в пространстве ( у нас имеются) 4 пространства ( ..переписывание завесит от идеоидичности этого плана). 4: Нормированние u_1, u_2, u_3 ### 3: Нахождение oртогональной проекцию вектора x : \[ x = \text{proj}_{U} x = c1 * u_1 + c_2 u_2 +.. c_3 ] ### 4 Перпендикуляр. эквивалирует ...