Условие:
решить и расписать решение
Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора x=(1,3,-6,1) на
подпространство, натянутое на векторы y1=(0,1,2,0), y2=(-1,1,0,2), y3=(1,1,4,-2)
Решение:
Это задание относится к предмету "Высшая математика", а конкретно к разделу "Линейная алгебра".
В данном задании требуется найти ортогональную проекцию вектора \( x \) на подпространство, натянутое на векторы \( y_1, y_2, y_3 \), и перпендикуляр, опущенный из вектора \( x \) на это подпространство. Для решения задания необходимо выполнить следующие шаги:
- Построить матрицу из векторов \( y_1, y_2, y_3 \), которые будут образовывать базис нашего подпространства.
- Найти ортонормированный базис пространства методом Грама-Шмидта.
- Найти проекцию вектора \( x \) на это подпространство.
- Найти перпендикуляр \( x \) к подпространству.
Шаг 1: Построить матрицу из векторов \( y_1, y_2, y_3 \)
Запишем векторы \( y_1, y_2, y_3 \) в виде столбцов матрицы \( Y \):
\[
Y = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\]
Шаг 2: Найти ортонормированный базис пространства методом Грама-Шмидта
Ортогонализация
- \( u_1 = y_1 \): \[
u_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
- \( u_2 = y_2 - \text{proj}_{u_1} y_2 \): Сначала найдём \(\text{proj}_{u_1} y_2\): \[
\text{proj}_{u_1} y_2 = \frac{(y_2 \cdot u_1)}{(u_1 \cdot u_1)} u_1
\] \[
y_2 \cdot u_1 = 1
\] \[
u_1 \cdot u_1 = 5
\] \[
\text{proj}_{u_1} y_2 = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} \\ 0 \end{pmatrix}
\] Ортогонализируем \( y_2 \): \[
u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{4}{5} \\ -\frac{2}{5} \\ 2 \end{pmatrix}
\]
- \( u_3 = y_3 - \text{proj}_{u_1} y_3 - \text{proj}_{u_2} y_3 \): Сначала найдем \(\text{proj}_{u_1} y_3\) и \(\text{proj}_{u_2} y_3\)... Замечание: некоторые промежуточные или точные значения могут округляться. После этого : \[
u_3 = y_3 - \text{proj}_{u_1} y_3 - \text{proj}_{u_2} y_3
\]...
Шаг 3: Нахождение ортогональной проекции вектора \( x \):
\[
x = \text{proj}_{U} x = c1 * u_1 + c_2 \* u_2 +.. c_3
\]
Шаг 4: Перпендикуляр.
Эквивалирует...