Какие из данных преобразований являются линейными

Предмет и раздел предмета

Это задание относится к предмету линейная алгебра, раздел линейные преобразования.

Решение

Линейное преобразование \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) – это преобразование, которое удовлетворяет двум условиям:

1. \( T(x + y) = T(x) + T(y) \) для всех \( x, y \in \mathbb{R}^n \)
2. \( T(cx) = cT(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R}^n \) и всех скаляров \( c \in \mathbb{R} \)

Проверка преобразований

Преобразование \( A(x) \)

\( A(x) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \)

Проверим линейность:

• \( A(x + y) = ((x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1)) \)
• \( = (x_1 - 2x_2 + y_1 - 2y_2, x_2 + x_3 + y_2 + y_3, 3x_1 + 3y_1) \)
• \( = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) + (y_1 - 2y_2, y_2 + y_3, 3y_1) \)
• \( = A(x) + A(y) \)
• \( A(cx) = (cx_1 - 2cx_2, cx_2 + cx_3, 3cx_1) \)
• \( = c(x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \)
• \( = cA(x) \)

Условия линейности соблюдаются. Преобразование \( A \) является линейным.

Преобразование \( B(x) \)

\( B(x) = (3x_3, 3x_1, -x_2) \)

Проверим линейность:

• \( B(x + y) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1), -(x_2 + y_2)) \)
• \( = (3x_3 + 3y_3, 3x_1 + 3y_1, -x_2 - y_2) \)
• \( = (3x_3, 3x_1, -x_2) + (3y_3, 3y_1, -y_2) \)
• \( = B(x) + B(y) \)
• \( B(cx) = (3c{x_3}, 3c{x_1}, -c{x_2}) \)
• \( = c(3x_3, 3x_1, -x_2) \)
• \( = cB(x) \)

Условия линейности соблюдаются. Преобразование \( B \) является линейным.

Преобразование \( C(x) \)

\( C(x) = (x_1 \cdot x_2, x_2 \cdot x_3, x_3 \cdot x_1) \)

Проверим линейность:

Для проверки линейности \( C \), возьмем различные векторы \( x \) и \( y \):

Проверим, например, на \( x = (1, 0, 0) \) и \( y = (0, 1, 0) \):

• \( C(x) = (1 \cdot 0, 0 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (0, 0, 0) \)
• \( C(y) = (0 \cdot 1, 1 \cdot 0, 0 \cdot 0) = (0, 0, 0) \)
• \( C(x + y) = C((1, 1, 0)) = (1 \cdot 1, 1 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (1, 0, 0) \)
• \( C(x) + C(y) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) \)

\( C(x + y) \neq C(x) + C(y) \)

Преобразование \( C \) не является линейным.

Итог

Таким образом, линейными являются преобразования: только \( A \) и \( B \).

Ответ: \( A \) и \( B \)