Какие из данных преобразований являются линейными

Условие:

Какие из данных преобразований являются линейными

Решение:

## Предмет и раздел предмета Это задание относится к предмету **линейная алгебра**, раздел **линейные преобразования**. ## Решение Линейное преобразование \( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) – это преобразование, которое удовлетворяет двум условиям: 1. \( T(x + y) = T(x) + T(y) \) для всех \( x, y \in \mathbb{R}^n \) 2. \( T(cx) = cT(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R}^n \) и всех скаляров \( c \in \mathbb{R} \) ### Проверка преобразований #### Преобразование \( A(x) \) \( A(x) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \) Проверим линейность: - \( A(x + y) = ((x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1)) \) - \( = (x_1 - 2x_2 + y_1 - 2y_2, x_2 + x_3 + y_2 + y_3, 3x_1 + 3y_1) \) - \( = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) + (y_1 - 2y_2, y_2 + y_3, 3y_1) \) - \( = A(x) + A(y) \) - \( A(cx) = (cx_1 - 2cx_2, cx_2 + cx_3, 3cx_1) \) - \( = c(x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \) - \( = cA(x) \) Условия линейности соблюдаются. Преобразование \( A \) является линейным. #### Преобразование \( B(x) \) \( B(x) = (3x_3, 3x_1, -x_2) \) Проверим линейность: - \( B(x + y) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1), -(x_2 + y_2)) \) - \( = (3x_3 + 3y_3, 3x_1 + 3y_1, -x_2 - y_2) \) - \( = (3x_3, 3x_1, -x_2) + (3y_3, 3y_1, -y_2) \) - \( = B(x) + B(y) \) - \( B(cx) = (3c{x_3}, 3c{x_1}, -c{x_2}) \) - \( = c(3x_3, 3x_1, -x_2) \) - \( = cB(x) \) Условия линейности соблюдаются. Преобразование \( B \) является линейным. #### Преобразование \( C(x) \) \( C(x) = (x_1 \cdot x_2, x_2 \cdot x_3, x_3 \cdot x_1) \) Проверим линейность: Для проверки линейности \( C \), возьмем различные векторы \( x \) и \( y \): Проверим, например, на \( x = (1, 0, 0) \) и \( y = (0, 1, 0) \): - \( C(x) = (1 \cdot 0, 0 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (0, 0, 0) \) - \( C(y) = (0 \cdot 1, 1 \cdot 0, 0 \cdot 0) = (0, 0, 0) \) - \( C(x + y) = C((1, 1, 0)) = (1 \cdot 1, 1 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (1, 0, 0) \) - \( C(x) + C(y) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) \) \( C(x + y) \neq C(x) + C(y) \) Преобразование \( C \) не является линейным. ### Итог Таким образом, линейными являются преобразования: только \( A \) и \( B \). **Ответ: \( A \) и \( B \)**