Какая из данных матриц может быть матрицей Грама

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре. Оно требует определить, какая из данных матриц может быть матрицей Грама. Матрица Грама для набора векторов \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) определяется как \(G = V^T V\), где \(V\) – матрица, составленная из этих векторов, имеющих размерность \(n \times m\). Однако, для матрицы Грама выполняются определенные свойства: 1. Матрица Грама всегда симметрична, то есть \(G = G^T\). 2. При положительной определенности матрица Грама также будет положительно определенной, но это не обязательное требование для этого задания. Проанализируем данные матрицы. 1. \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) Матрица симметрична (\(4 = 4\), \(2 = 2\), \(7 = 7\), \(2 = 2\), \(1 = 1\), \(-1 = -1\)), значит, она может быть матрицей Грама. 2. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) Матрица симметрична (\(8 = 8\), \(3 = 3\), \(1 = 1\), \(3 = 3\), \(2 = 2\), \(0 = 0\)), значит, она может быть матрицей Грама. 3. \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) Матрица не является симметричной (\(4 \neq 3\)), поэтому она не может быть матрицей Грама. 4. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Матрица симметрична (\(8 = 8\), \(3 = 3\), \(1 = 1\), \(3 = 3\), \(2 = 2\), \(0 = 0\)), значит, она может быть матрицей Грама. 5. \(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}\) Матрица не является симметричной (\(5 \neq 3\)), поэтому она не может быть матрицей Грама. Ответ: Выбираем матрицу, которая является симметричной. Такими матрицами являются: 1. \(\begin{pmatrix} 4 & 2 & 7 \\ 2 & 1 & -1 \\ 7 & -1 & 5 \end{pmatrix}\) 2. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\) 4. \(\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Из этих трех симметричных матриц нам нужно выбрать одну. В отсутствие дополнительных данных по конкретным наборам векторов, любая из вышеперечисленных трех матриц будет верным ответом. Однако, чтобы быть максимально точным, раз здесь нужно выбрать одну, правильный выбор упростим из числа предложенных: \[\boxed{2}\]