Как доказать, что матрица является матрицей Грама?

Давайте разберемся с поставленными задачами!

Определение предмета и раздела

Это задание относится к линейной алгебре (раздел математики). Раздел "Матрицы и скалярное произведение", связанный c понятием матрицы Грама и евклидовой геометрией.

1. Как доказать, что матрица является матрицей Грама?

Определение матрицы Грама:

Матрица \(G\) является матрицей Грама для некоторого набора векторов \(v_1, v_2, \dots, v_n \) из векторного пространства с числовым скалярным произведением, если элементы \(G_{i,j}\) этой матрицы представляют собой скалярные произведения этих векторов:

\[ G_{i,j} = \langle v_i, v_j \rangle, \]

где \(\langle v_i, v_j \rangle\) — скалярное произведение векторов \(v_i\) и \(v_j\).

Матрица Грама всегда является:

1. Симметричной: \(G_{i,j} = G_{j,i}\), так как скалярное произведение обладает свойством симметрии.
2. Положительно определенной (или неотрицательно определенной): Если \(c_1, c_2, \dots, c_n\) — произвольные числа, то \[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_i c_j G_{i,j} \geq 0. \]

Если матрица \(G\) удовлетворяет этим двум условиям, то она является матрицей Грама.

Подробное доказательство, что конкретная матрица \(G\) — матрица Грама:

1. Проверка симметричности: Проверьте, что \(G_{i,j} = G_{j,i}\) для всех \(i, j\). Это следует из симметрии скалярного произведения: \(\langle v_i, v_j \rangle = \langle v_j, v_i \rangle\).
2. Проверка положительной определенности: Возьмите произвольный вектор \(\mathbf{c} = (c_1, c_2, \dots, c_n)\) и докажите, что \[ \mathbf{c}^T G \mathbf{c} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_i c_j G_{i,j} \geq 0. \] Это значение можно интерпретировать как длину некоторой линейной комбинации векторов \(v_i\), что всегда неотрицательно.

Если оба этих условия выполнены, то \(G\) — матрица Грама.

Пример:

Пусть \(v_1 = (1, 0)\) и \(v_2 = (0, 1)\) в \(\mathbb{R}^2\). Найдем матрицу Грама.

1. Найдем скалярные произведения: \[ \langle v_1, v_1 \rangle = 1, \quad \langle v_1, v_2 \rangle = 0, \quad \langle v_2, v_2 \rangle = 1. \]
2. Матрица Грама: \[ G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Эта матрица симметрична и положительно определена, поэтому это матрица Грама.

2. Как найти скалярное произведение?

Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n)\) и \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)\) определяется как:

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = \sum_{i=1}^n u_i v_i. \]

Это также называют евклидовым скалярным произведением.

Пример:

Пусть \(\mathbf{u} = (1, 2, 3)\) и \(\mathbf{v} = (-1, 0, 4)\). Найдем их скалярное произведение:

\[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = -1 + 0 + 12 = 11. \]

Таким образом, \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 11\).

Если есть дополнительные вопросы или задачи, напишите — будем разбираться дальше!