Изучение "Квадратичных форм"

Условие:

Решение:

Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра" и конкретно к изучению "Квадратичных форм". Нам нужно определить для каких значений \( m \) квадратичная форма: \[ x_1^2 - 2x_1 x_2 + 4x_1 x_3 + m x_2^2 \] имеет ранг, равный двум. Проще всего это сделать, составив матрицу квадратичной формы и найдя её ранг. Квадратичная форма: \[ Q(x) = x_1^2 - 2x_1 x_2 + 4x_1 x_3 + m x_2^2 \] может быть записана в матричной форме как: \[ Q(x) = X^T A X \] где \( X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \), а матрица \( A \) квадратичной формы будет: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь нам нужно найти ранг этой матрицы при различных значениях \( m \). Посчитаем детерминант (определитель) матрицы: \[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & m & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} \] Раскладываем по третьему столбцу (так как есть нули, это упрощает вычисления): \[ \text{det}(A) = 2 \times \begin{vmatrix} -1 & m \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \times (-1 \cdot 0 - m \cdot 2) = -4m \] Следовательно, определитель равен нулю при \( m = 0 \). Однако при \( m \neq 0 \), определитель не равен нулю, значит, матрица имеет полный ранг 3 и квадратичная форма тоже имеет полный ранг 3. Теперь надо рассмотреть случаи, когда будут равны только два миноры второго порядка. Для этого рассмотрим миноры второго порядка матрицы \( A \): 1. \( \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot m - (-1) \cdot (-1) = m - 1 \) 2. Остальные миноры второго порядка либо содержат строки, которые приводят к нулевому определителю, так как одна из строчек содержит нули полностью. Таким образом, при \( m = 1 \) один из вторых порядков будет равен нулю, что приводит к рангу 2. Таким образом, правильный ответ будет: \[ m = 1 \]