Изучение "Квадратичных форм"

Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра" и конкретно к изучению "Квадратичных форм".

Нам нужно определить для каких значений $\text{(}m\text{)}$ квадратичная форма: $\text{[}{x}_1^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+m{x}_2^2\text{]}$ имеет ранг, равный двум. Проще всего это сделать, составив матрицу квадратичной формы и найдя её ранг.

Квадратичная форма: $\text{(}Q(x)=x_1^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3+m{x}_2^2\text{)}$ может быть записана в матричной форме как: $\text{[}Q(x)=X^{T}AX\text{]}$ где $\text{(}X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\text{)}$, а матрица $\text{(}A\text{)}$ квадратичной формы будет: $\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& m& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)\text{]}$

Теперь нам нужно найти ранг этой матрицы при различных значениях $\text{(}m\text{)}$. Посчитаем детерминант (определитель) матрицы: $\text{[}\text{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& m& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right|\text{]}$ Раскладываем по третьему столбцу (так как есть нули, это упрощает вычисления): $\text{[}\text{det}(A)=2\times \left|\begin{array}{cc}-1& m\\ 2& 0\end{array}\right|=2\times (-1\cdot 0-m\cdot 2)=-4m\text{]}$ Следовательно, определитель равен нулю при $\text{(}m=0\text{)}$. Однако при $\text{(}m\ne 0\text{)}$, определитель не равен нулю, значит, матрица имеет полный ранг 3 и квадратичная форма тоже имеет полный ранг 3.

Теперь надо рассмотреть случаи, когда будут равны только два миноры второго порядка. Для этого рассмотрим миноры второго порядка матрицы $\text{(}A\text{)}$:

1. $\text{(}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& m\end{array}\right|=1\cdot m-(-1)\cdot (-1)=m-1\text{)}$
2. Остальные миноры второго порядка либо содержат строки, которые приводят к нулевому определителю, так как одна из строчек содержит нули полностью.

Таким образом, при $\text{(}m=1\text{)}$ один из вторых порядков будет равен нулю, что приводит к рангу 2. Таким образом, правильный ответ будет: $\text{(}m=1\text{)}$