Исследуй систему на совместимость с общим решением

Условие:

Исследуй систему на совместимость с общим решением

Решение:

**Предмет:** Математика **Раздел:** Алгебра, Системы линейных уравнений Мы имеем систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5 \\ 6x_1 - 3x_2 + x_3 - 4x_4 = 7 \\ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18 \\ \end{cases} \] ### Шаг 1. Представим систему в матричной форме. Мы можем записать данную систему в виде: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -7 \\ 6 & -3 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & 14 & -31 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 18 \\ \end{pmatrix} \] Это линейная система может быть решена методами: 1. **Подстановки** 2. **Гаусса** 3. **Использование обратной матрицы** (при условии, что матрица невырожденная) В данном случае мы воспользуемся методом **Гаусса**, чтобы привести матрицу к треугольному виду и найти решение. ### Шаг 2. Прямой ход метода Гаусса. Приведем систему методом Гаусса к треугольному виду. 1. Приведем второй уравнение к виду, где коэффициент при \(x_1\) равен 0. Для этого вычтем из второй строки 3*(первую строку): \[ (6x_1 - 3x_2 + x_3 - 4x_4 = 7) - 3*(2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5) \] Результат: \[ 6x_1 - 3x_2 + x_3 - 4x_4 - (6x_1 - 3x_2 + 9x_3 - 21x_4) = 7 - 15 \] \[ 0x_1 + 0x_2 - 8x_3 + 17x_4 = -8 \] Теперь система выглядит так: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5 \\ 0x_1 + 0x_2 - 8x_3 + 17x_4 = -8 \\ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18 \\ \end{cases} \] 2. Теперь приведем третье уравнение таким образом, чтобы \(x_1\) также исчез. Для этого вычтем из третьего уравнения 2*(первое уравнение): \[ (4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18) - 2*(2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5) \] Результат: \[ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 - (4x_1 - 2x_2 + 6x_3 - 14x_4) = 18 - 10 \] \[ 0x_1 + 0x_2 + 8x_3 - 17x_4 = 8 \] Теперь система имеет вид: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5 \\ 0x_1 + 0x_2 - 8x_3 + 17x_4 = -8 \\ 0x_1 + 0x_2 + 8x_3 - 17x_4 = 8 \\ \end{cases} \] ### Шаг 3. Исследование системы на совместимость. Рассмотрим второе и третье уравнения: \[ -8x_3 + 17x_4 = -8 \quad \text{(второе уравнение)} \] \[ 8x_3 - 17x_4 = 8 \quad \text{(третье уравнение)} \] Сложим эти уравнения: \[ (-8x_3 + 17x_4) + (8x_3 - 17x_4) = -8 + 8 \] \[ 0 = 0 \] Это верное тождество. Следовательно, система совместна, и имеет **бесконечное множество решений**. ### Шаг 4. Общее решение. Так как третье уравнение является линейной комбинацией второго и не добавляет новой информации, мы можем задать одну из переменных как параметр. Пусть \(x_4 = t\) — свободный параметр. Подставим это в любое из оставшихся уравнений для нахождения остальных переменных. Из второго уравнения: \[ -8x_3 + 17t = -8 \] \[ -8x_3 = -8 - 17t \] \[ x_3 = 1 + \frac{17}{8}t \] Теперь подставим \(x_3\) и \(x_4\) в первое уравнение: \[ 2x_1 - x_2 + 3(1 + \frac{17}{8}t) - 7t = 5 \] \[ 2x_1 - x_2 + 3 + \frac{51}{8}t - 7t = 5 \] \[ 2x_1 - x_2 + 3 + \frac{51}{8}t - \frac{56}{8}t = 5 \] \[ 2x_1 - x_2 - \frac{5}{8}t = 2 \] Отсюда мы можем выразить \(x_2\) через \(x_1\) и \(t\). Ответ: \[ x_1 = x_1, \quad x_2 = 2x_1 + \frac{5}{8}t - 2, \quad x_3 = 1 + \frac{17}{8}t, \quad x_4 = t \] Это общее решение системы, где \(t\) — свободный параметр.