Исследовать системы уравнений на совместимость и найти общее и частное решение, если система совместима

Данное задание относится к линейной алгебре, разделу, который изучает системы линейных алгебрических уравнений (СЛАУ). Здесь требуется исследовать системы уравнений на совместимость и найти общее и частное решение, если система совместима. Рассмотрим каждую систему по отдельности.

Шаги решения:

1. Запишем системы уравнений в матричной форме (если необходимо).
2. Используем метод Гаусса для анализа совместимости системы:
   • Если система совместима, находим общее и частное решения.
   • Иначе, указываем, что система несовместна.
3. Проверяем найденные решения.

Разбор системы (а):

Запишем систему в виде матрицы.

Это система из трёх уравнений с четырьмя неизвестными \(x_1, x_2, x_3, x_4\), то есть неопределённая система (она может иметь бесконечное число решений в случае совместности). Попробуем привести матрицу этой системы к ступенчатому виду методом Гаусса:

Матричная форма:

Начнём с первого уравнения:

1. Сначала вычтем первое уравнение из второго и третьего уравнений.
   • Второе уравнение после вычитания:

• Третье уравнение после вычитания:

После выполнения операций матрица будет иметь вид:

Здесь третья строка обнулилась, что указывает на бесконечное множество решений.

Теперь можно выразить переменные через параметры:

• Из второго уравнения выражаем \(x_2\):

• Из первого уравнения выражаем \(x_1\):

Таким образом, общее решение будет выглядеть так:

Частное решение:

Для нахождения частного решения подставим, например, \(x_3 = 0\) и \(x_4 = 0\):

Проверка:

Подставим частное решение \(x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 0, x_4 = 0\) в исходные уравнения:

1. \(1 - (-1) - 0 = 2 \quad \text{(верно)}\)
2. \(1 + 0 - 2 \cdot 0 = 1 \quad \text{(верно)}\)
3. \(2 \cdot 1 - (-1) + 0 - 3 \cdot 0 = 1 \quad \text{(верно)}\)

Решение проверено.

Разбор системы (б):

Теперь аналогично рассмотрим систему (б):

Это система из четырёх уравнений и четырёх неизвестных. Применим метод Гаусса для исследования на совместимость. Матричная запись:

Преобразуем систему методом Гаусса, чтобы определить совместимость или несовместимость. (Процесс может быть длиительным, но ключевым шагом будет преобразование строк для выявления несовместимости либо получения значений переменных).