Исследовать систему уравнений на совместимость.

Пример 1:

Исследуйте совместность системы линейных уравнений и в случае совместности найдите все её решения методом Гаусса.

Решение от преподавателя:

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. 
Выпишем расширенную и основную матрицы: 

2 1 -1 2 1 -1 2 1 3 0 1 3 x1 x2 x3

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. 
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. 
Умножим 1-ую строку на (-1). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 

0 -3 5 0 1 -1 2 1 3 0 1 3

Умножим 2-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой: 

0 -3 5 0 0 3 -5 0 3 0 1 3

Для удобства вычислений поменяем строки местами: 

0 -3 5 0 0 3 -5 0 3 0 1 3

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. 

0 3 -5 0 3 0 1 3

Для удобства вычислений поменяем строки местами: 

0 3 -5 0 3 0 1 3

Определим ранг системы. 

0 3 -5 3 0 1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно, rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. 
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные. 
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. 

0 3 0 5 3 0 3 -1

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: 
3x2 = 5x3 
3x1 = 3 - x3 
Методом исключения неизвестных находим: 
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение: 
x2 = 5/3x3 
x1 = 1 - 1/3x3 
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения. 

Пример 2:

Исследовать систему уравнений на совместность. В случае совместности найти общее решение методом Гаусса.

Решение от преподавателя:

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. 
Выпишем расширенную и основную матрицы: 

6 -2 -1 0 4 0 2 2 1 0 6 0 1 1 4 6 -4 -3 -1 4 x1 x2 x3 x4

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. 
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. 
Для удобства вычислений поменяем строки местами: 

0 2 2 1 0 6 -2 -1 0 4 6 0 1 1 4 6 -4 -3 -1 4

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой: 

0 2 2 1 0 0 2 2 1 0 6 0 1 1 4 6 -4 -3 -1 4

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например, 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. 

0 2 2 1 0 6 0 1 1 4 6 -4 -3 -1 4

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой: 

0 2 2 1 0 0 -4 -4 -2 0 6 -4 -3 -1 4

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например, 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. 

0 -4 -4 -2 0 6 -4 -3 -1 4

Определим ранг основной системы.

0 -4 -4 -2 6 -4 -3 -1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=2. 
Определим ранг расширенной системы. 

0 -4 -4 -2 0 6 -4 -3 -1 4

Ранг этой системы равен rangB=2. 
rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной. 
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃,x₄ – свободные. 
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. 

0 -4 0 4 2 6 -4 4 3 1

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: 
- 4x₂ = 4x₃ + 2x₄ 
6x₁ - 4x₂ = 4 + 3x₃ + x₄ 
получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂ через свободные x₃,x₄, то есть нашли общее решение: 
x₂ = - x₃ - ¹/₂x₄ 
x₁ = ²/₃ - ¹/₆x₃ - ¹/₆x₄ 
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.