Исследовать систему на совместность, и найти ее общее решение

Условие:

Решение:

Это задание относится к разделу линейной алгебры. Мы решим задание №2: "Исследовать систему на совместность, и найти ее общее решение". Дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 = 1 \\ 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 2 \\ 2x_1 - 3x_2 - 11x_3 - 15x_4 = 5 \end{cases} \] ### Шаг 1: Приведение системы к матричной форме Запишем систему уравнений в виде матрицы: \[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \] где \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду Применим метод Гаусса для приведения матрицы \(A\) к ступенчатому виду (этапы будут расписаны подробно): 1. Умножим первую строку на 2 и вычтем из второй строки: \[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \] 2. Вычтем первую строку из третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{pmatrix} \] 3. Умножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь система уравнений имеет вид: \[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 = 1 \\ -8x_3 - 11x_4 = 2 \\ 0 = 0 \end{cases} \] ### Шаг 3: Определение совместности системы Из третьего уравнения видно, что система программы не содержит противоречий. Следовательно, система совместна. ### Шаг 4: Найдем общее решение системы уравнений Решим второе уравнение для \(x_3\) и \(x_4\): \[ -8x_3 - 11x_4 = 2 \] Найдём общее решение: \[ x_3 = -\frac{2 + 11x_4}{8} \] Обозначим \(x_4 = t\), где \(t\) — произвольное действительное число: \[ x_3 = -\frac{2 + 11t}{8} \] Теперь подставим \(x_3\) и \(x_4\) в первое уравнение: \[ 2x_1 - 3x_2 + 5\left(-\frac{2 + 11t}{8}\right) + 7t = 1 \] Решим это уравнение относительно \(x_1\) и \(x_2\): \[ 2x_1 - 3x_2 - \frac{10 + 55t}{8} + 7t = 1 \] \[ 2x_1 - 3x_2 = 1 + \frac{10 + 55t}{8} - 7t \] \[ 2x_1 - 3x_2 = 1 + \frac{10 + 55t - 56t}{8} \] \[ 2x_1 - 3x_2 = 1 + \frac{10 - t}{8} \] \[ 2x_1 - 3x_2 = \frac{8 + 10 - t}{8} \] \[ 2x_1 - 3x_2 = \frac{18 - t}{8} \] Таким образом, общее решение системы: \[ x_1 = \frac{18 - t + 3x_2}{16} \] и \(x_2\) остается свободной переменной. Общее решение в параметрической форме: \[ \begin{cases} x_1 = \frac{18 - t + 3x_2}{16} \\ x_2 = x_2 \\ x_3 = -\frac{2 + 11t}{8} \\ x_4 = t \end{cases} \] Значение \(t\) и \(x_2\) — произвольные действительные числа. Мы решили систему, исследовали её на совместимость и нашли общее решение.