Исследовать систему на совместность, и найти ее общее решение

Это задание относится к разделу линейной алгебры. Мы решим задание №2: "Исследовать систему на совместность, и найти ее общее решение".

Дана система линейных уравнений:

Шаг 1: Приведение системы к матричной форме

Запишем систему уравнений в виде матрицы:

где

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду

Применим метод Гаусса для приведения матрицы \(A\) к ступенчатому виду (этапы будут расписаны подробно):

1. Умножим первую строку на 2 и вычтем из второй строки:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \]
2. Вычтем первую строку из третьей строки:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{pmatrix} \]
3. Умножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей строки:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Теперь система уравнений имеет вид:

Шаг 3: Определение совместности системы

Из третьего уравнения видно, что система программы не содержит противоречий. Следовательно, система совместна.

Шаг 4: Найдем общее решение системы уравнений

Решим второе уравнение для \(x_3\) и \(x_4\):

Найдём общее решение:

Обозначим \(x_4 = t\), где \(t\) — произвольное действительное число:

Теперь подставим \(x_3\) и \(x_4\) в первое уравнение:

Решим это уравнение относительно \(x_1\) и \(x_2\):

Таким образом, общее решение системы:

и \(x_2\) остается свободной переменной.

Общее решение в параметрической форме:

Значение \(t\) и \(x_2\) — произвольные действительные числа.

Мы решили систему, исследовали её на совместимость и нашли общее решение.