Исследовать систему на совместность, если она совместна найти её решение

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Исследовать систему на совместность, если она совместна найти её решение

Данное задание относится к предмету линейная алгебра, а именно к разделу системы линейных уравнений (СЛАУ). Тебе нужно исследовать систему линейных уравнений на совместность, а если она совместна — найти её решение.

Система:

$\[{\begin{aligned} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} & = 2 \\ x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} & = 5 \\ x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} & = - 7 \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} - 3 x_{3} & = 14 \end{aligned} \]$

Выполним исследование системы, используя метод Гаусса (метод приведения к треугольному виду) и дальнейшее нахождение решений.

Шаг 1. Матричная форма системы

Запишем данную систему в виде расширенной матрицы:

$\[(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 3 & 1 & | & 5 \\ 1 & 1 & 5 & | & - 7 \\ 2 & 3 & - 3 & | & 14 \end{matrix}) \]$

Попробуем привести эту матрицу к треугольному виду, используя элементарные преобразования строк.

Шаг 2. Прямой ход метода Гаусса

- Начнем с первой строки. Сделаем так, чтобы первый элемент второго и третьего уравнения стал нулем:

Из второй строки вычтем первую строку, предварительно умноженную на $$\frac{1}{2} $$ : $$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{1} $$
Из третьей строки вычтем первую: $$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{2} R_{1} $$

Результирующая матрица:

$\[(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & | & - 8 \\ 2 & 3 & - 3 & | & 14 \end{matrix}) \]$

- Теперь сделаем так, чтобы первый элемент четвертой строки стал нулем:

Вычтем первую строку из четвертой: $$R_{4} = R_{4} - R_{1} $$

Получаем:

$\[(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & | & - 8 \\ 0 & 2 & - 4 & | & 12 \end{matrix}) \]$

- Теперь обнулим второй элемент третьей и четвертой строки относительно второй строки.

Из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на $$\frac{1}{5} $$ : $$R_{3} = R_{3} - \frac{1}{5} R_{2} $$
Из четвертой строки вычтем вторую строку, умноженную на $$\frac{4}{5} $$ : $$R_{4} = R_{4} - \frac{4}{5} R_{2} $$

После этих операций матрица будет выглядеть так:

$\[(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & 0 & \frac{44}{5} & | & - 24 \\ 0 & 0 & - \frac{22}{5} & | & 4 \end{matrix}) \]$

Шаг 3. Разрешение треугольной системы

Вернёмся к системе, начиная решать её с третьего уравнения:

$\[\frac{44}{5} x_{3} = - 24 \]$

Отсюда:

$\[x_{3} = - 24 \cdot \frac{5}{44} = - \frac{30}{11} . \]$

Теперь уделим внимание второму уравнению:

$\[\frac{5}{2} x_{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{30}{11}) = 4. \]$

Преобразуем уравнение:

$\[\frac{5}{2} x_{2} - \frac{15}{11} = 4. \]$

Приведем к общему знаменателю:

$\[\frac{5}{2} x_{2} = 4 + \frac{15}{11} = \frac{44}{11} + \frac{15}{11} = \frac{59}{11} . \]$

Тогда:

$\[x_{2} = \frac{59}{11} \cdot \frac{2}{5} = \frac{118}{55} . \]$

Теперь решим первое уравнение:

$\[2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2, \]$

подставим уже найденные значения $$x_{2} $$ и $$x_{3} $$ :

$\[2 x_{1} + \frac{118}{55} - \frac{30}{11} = 2. \]$

Приведем к общему знаменателю:

$\[2 x_{1} = 2 - \frac{118}{55} + \frac{150}{55} = 2 + \frac{32}{55} . \]$

Получаем:

$\[x_{1} = \frac{102}{55} . \]$

Ответ:

$\[x_{1} = \frac{102}{55}, x_{2} = \frac{118}{55}, x_{3} = - \frac{30}{11} . \]$

Система совместна, её решение:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!