Исследовать систему на совместность, если она совместна найти её решение

Данное задание относится к предмету линейная алгебра, а именно к разделу системы линейных уравнений (СЛАУ). Тебе нужно исследовать систему линейных уравнений на совместность, а если она совместна — найти её решение.

Система:

\[ \left\{ \begin{aligned} 2x_1 + x_2 + x_3 &= 2 \\ x_1 + 3x_2 + x_3 &= 5 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 &= -7 \\ 2x_1 + 3x_2 - 3x_3 &= 14 \end{aligned} \right. \]

Выполним исследование системы, используя метод Гаусса (метод приведения к треугольному виду) и дальнейшее нахождение решений.

Шаг 1. Матричная форма системы

Запишем данную систему в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 3 & 1 & | & 5 \\ 1 & 1 & 5 & | & -7 \\ 2 & 3 & -3 & | & 14 \end{pmatrix} \]

Попробуем привести эту матрицу к треугольному виду, используя элементарные преобразования строк.

Шаг 2. Прямой ход метода Гаусса

- Начнем с первой строки. Сделаем так, чтобы первый элемент второго и третьего уравнения стал нулем:

• Из второй строки вычтем первую строку, предварительно умноженную на \(\frac{1}{2}\): \(R_2 = R_2 - \frac{1}{2}R_1\)
• Из третьей строки вычтем первую: \(R_3 = R_3 - \frac{1}{2}R_1\)

Результирующая матрица:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & | & -8 \\ 2 & 3 & -3 & | & 14 \end{pmatrix} \]

- Теперь сделаем так, чтобы первый элемент четвертой строки стал нулем:

• Вычтем первую строку из четвертой: \(R_4 = R_4 - R_1\)

Получаем:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & | & -8 \\ 0 & 2 & -4 & | & 12 \end{pmatrix} \]

- Теперь обнулим второй элемент третьей и четвертой строки относительно второй строки.

• Из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на \(\frac{1}{5}\): \(R_3 = R_3 - \frac{1}{5}R_2\)
• Из четвертой строки вычтем вторую строку, умноженную на \(\frac{4}{5}\): \(R_4 = R_4 - \frac{4}{5}R_2\)

После этих операций матрица будет выглядеть так:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & | & 4 \\ 0 & 0 & \frac{44}{5} & | & -24 \\ 0 & 0 & -\frac{22}{5} & | & 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 3. Разрешение треугольной системы

Вернёмся к системе, начиная решать её с третьего уравнения:

\[ \frac{44}{5} x_3 = -24 \]

Отсюда:

\[ x_3 = -24 \cdot \frac{5}{44} = -\frac{30}{11}. \]

Теперь уделим внимание второму уравнению:

\[ \frac{5}{2} x_2 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{30}{11}\right) = 4. \]

Преобразуем уравнение:

\[ \frac{5}{2} x_2 - \frac{15}{11} = 4. \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{5}{2} x_2 = 4 + \frac{15}{11} = \frac{44}{11} + \frac{15}{11} = \frac{59}{11}. \]

Тогда:

\[ x_2 = \frac{59}{11} \cdot \frac{2}{5} = \frac{118}{55}. \]

Теперь решим первое уравнение:

\[ 2x_1 + x_2 + x_3 = 2, \]

подставим уже найденные значения \(x_2\) и \(x_3\):

\[ 2x_1 + \frac{118}{55} - \frac{30}{11} = 2. \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 2x_1 = 2 - \frac{118}{55} + \frac{150}{55} = 2 + \frac{32}{55}. \]

Получаем:

\[ x_1 = \frac{102}{55}. \]

Ответ:

\[ x_1 = \frac{102}{55}, \quad x_2 = \frac{118}{55}, \quad x_3 = -\frac{30}{11}. \]

Система совместна, её решение: