Исследовать систему на совместимость. Найти общее решение

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Нам дана система линейных уравнений:

\[ \begin{cases} 2x_1 + 7x_2 + 3x_3 + x_4 = 6 \\ 3x_1 + 5x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 4 \\ 9x_1 + 4x_2 + x_3 + 7x_4 = 2 \end{cases} \]

Требуется:

1. Исследовать систему на совместимость.
2. Найти общее решение.

Шаг 1: Запись системы в матричной форме

Составим матрицу коэффициентов \( A \), столбец неизвестных \( \vec{x} \), и столбец правых частей \( \vec{b} \):

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 2 \\ 9 & 4 & 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Теперь запишем это в виде матричного уравнения:

\[ A \vec{x} = \vec{b}. \]

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса

Для исследования системы на совместимость применим метод Гаусса, чтобы привести матрицу \( A \) к ступенчатому виду.

Запишем расширенную матрицу \( (A|\vec{b}) \):

\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & 7 & 3 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 1 & 7 & 2 \end{array} \right) \]

Теперь начнем процесс исключения:

1. Приведем первый элемент первой строки к 1:

Разделим первую строку на 2:

\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \\ 3 & 5 & 2 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 1 & 7 & 2 \end{array} \right) \]

2. Обнулим элементы под первым элементом столбца:

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3:

\( 3R_1 - R_2: \quad (3 - 3) = 0, \quad (5 - 10.5) = -5.5, \quad (2 - 4.5) = -2.5, \quad (2 - 1.5) = 0.5, \quad (4 - 9) = -5. \)

Получаем:

\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \\ 0 & -5.5 & -2.5 & 0.5 & -5 \\ 9 & 4 & 1 & 7 & 2 \end{array} \right) \]

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 9:

\( R_3 - 9R_1 = 0 + (-27.5, -12.5, 2.5, -25) \)

Получаем:

\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 3.5 & 1.5 & 0.5 & 3 \\ 0 & -5.5 & -2.5 & 0.5 & -5 \\ 0 & -27.5 & -12.5 & 2.5 & -25 \end{array} \right) \]

Шаг 3: Исследование совместимости и решение

У нас три уравнения на 4 переменные. Это система с недоопределенностью, и скорее всего, она имеет множество решений, зависящих от одного или более свободных параметров. Мы продолжим решение этой системы, но уже видно, что \( x_4 \) будет свободной переменной.