Исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти ее общее решение

Этот тип задачи относится к предмету математики, разделу "линейная алгебра". В данной задаче нужно исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти ее общее решение. Совместность означает, что существует хотя бы одно решение системы. Система состоит из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными ($\text{(}{x}_1,x_2,x_3,x_4\text{)}$). Это "переопределенная" система, так как у нас неизвестных больше, чем уравнений.

Запишем систему:

1. $\text{(}9x_1-3x_2+5x_3+6x_4=4\text{)}$
2. $\text{(}6x_1-2x_2+3x_3+x_4=5\text{)}$
3. $\text{(}3x_1-x_2+3x_3+14x_4=-8\text{)}$

Шаг 1. Приведение к расширенной матрице.

Сначала построим расширенную матрицу системы:

$\text{[}\left(\begin{array}{cccccc}9& -3& 5& 6& |& 4\\ 6& -2& 3& 1& |& 5\\ 3& -1& 3& 14& |& -8\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 2. Приведение к треугольному виду (метод Гаусса).

Сначала упростим первый столбец. Мы можем умножить второе и третье уравнения и вычесть их подобранным образом, чтобы избавиться от нижних элементов первого столбца.

1. Для того, чтобы убрать элемент во второй строке ($\text{(}6\text{)}$), вычтем первую строку, умноженную на $\text{(}\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\text{)}$, из второй строки:

$\text{[}(2)-\frac{2}{3}(1)\text{]}$

Новый результат для второй строки:

$\text{[}(6-6,-2-(-2),3-\frac{10}{3},1-4,5-\frac{8}{3})=(0,0,\frac{-1}{3},-3,\frac{7}{3})\text{]}$

2. Проделаем аналогичные преобразования с третьей строкой, вычитая первую строку, умноженную на $\text{(}\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\text{)}$:

$\text{[}(3)-\frac{1}{3}(1)\text{]}$

Результат для третьей строки:

$\text{[}(3-3,-1-(-1),3-\frac{5}{3},14-2,-8-\frac{4}{3})=(0,0,\frac{4}{3},12,\frac{-28}{3})\text{]}$

Приведенная матрица будет иметь следующий вид:

$\text{[}\left(\begin{array}{cccccc}9& -3& 5& 6& |& 4\\ 0& 0& \frac{-1}{3}& -3& |& \frac{7}{3}\\ 0& 0& \frac{4}{3}& 12& |& \frac{-28}{3}\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 3. Исключение переменной $\text{(}{x}_3\text{)}$.

Упростим вторую и третью строки, чтобы выразить $\text{(}{x}_3\text{)}$ более явно.

1. Умножим вторую строку на -3, чтобы избавиться от знаменателей:

$\text{[}(0,0,1,9,-7)\text{]}$

2. Теперь можно выразить $\text{(}{x}_3\text{)}$ через остальные переменные:

$\text{[}{x}_3+9x_4=-7\Rightarrow x_3=-7-9x_4\text{]}$

3. Учтем это уравнение в третьей строке, умножив его на 3:

$\text{[}(0,0,4,36,-28)\text{]}$

Теперь вычтем $\text{(}4\cdot \text{(вторую строку)}\text{)}$, чтобы исключить переменную $\text{(}{x}_3\text{)}$ из третьей строки.

Шаг 4. Получение общего решения.

1. После дальнейших преобразований мы увидим, что $\text{(}{x}_4\text{)}$ является свободной переменной. Это значит, что система имеет бесконечное множество решений, которые зависят от $\text{(}{x}_4\text{)}$.

Мы выразили $\text{(}{x}_3\text{)}$ через $\text{(}{x}_4\text{)}$ следующим образом:

2. Теперь важно подставить это выражение в исходные уравнения для получения остальных переменных ($\text{(}{x}_1\text{)}$ и $\text{(}{x}_2\text{)}$).

$\text{[}{x}_3=-7-9x_4\text{]}$