Исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти ее общее решение

Этот тип задачи относится к предмету математики, разделу "линейная алгебра". В данной задаче нужно исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти ее общее решение. Совместность означает, что существует хотя бы одно решение системы. Система состоит из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными (\(x_1, x_2, x_3, x_4\)). Это "переопределенная" система, так как у нас неизвестных больше, чем уравнений.

Запишем систему:

1. \( 9x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 4 \)
2. \( 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 5 \)
3. \( 3x_1 - x_2 + 3x_3 + 14x_4 = -8 \)

Шаг 1. Приведение к расширенной матрице.

Сначала построим расширенную матрицу системы:

\[ \begin{pmatrix} 9 & -3 & 5 & 6 & | & 4 \\ 6 & -2 & 3 & 1 & | & 5 \\ 3 & -1 & 3 & 14 & | & -8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2. Приведение к треугольному виду (метод Гаусса).

Сначала упростим первый столбец. Мы можем умножить второе и третье уравнения и вычесть их подобранным образом, чтобы избавиться от нижних элементов первого столбца.

1. Для того, чтобы убрать элемент во второй строке (\( 6 \)), вычтем первую строку, умноженную на \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), из второй строки:

\[ (2) - \frac{2}{3}(1) \]

Новый результат для второй строки:

\[ \left( 6 - 6, -2 - (-2), 3 - \frac{10}{3}, 1 - 4, 5 - \frac{8}{3} \right) = (0, 0, \frac{-1}{3}, -3, \frac{7}{3}) \]

2. Проделаем аналогичные преобразования с третьей строкой, вычитая первую строку, умноженную на \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \):

\[ (3) - \frac{1}{3}(1) \]

Результат для третьей строки:

\[ (3 - 3, -1 - (-1), 3 - \frac{5}{3}, 14 - 2, -8 - \frac{4}{3}) = (0, 0, \frac{4}{3}, 12, \frac{-28}{3}) \]

Приведенная матрица будет иметь следующий вид:

\[ \begin{pmatrix} 9 & -3 & 5 & 6 & | & 4 \\ 0 & 0 & \frac{-1}{3} & -3 & | & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & 12 & | & \frac{-28}{3} \end{pmatrix} \]

Шаг 3. Исключение переменной \( x_3 \).

Упростим вторую и третью строки, чтобы выразить \( x_3 \) более явно.

1. Умножим вторую строку на -3, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ (0, 0, 1, 9, -7) \]

2. Теперь можно выразить \( x_3 \) через остальные переменные:

\[ x_3 + 9x_4 = -7 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -7 - 9x_4 \]

3. Учтем это уравнение в третьей строке, умножив его на 3:

\[ (0, 0, 4, 36, -28) \]

Теперь вычтем \(4 \cdot \text{(вторую строку)}\), чтобы исключить переменную \(x_3\) из третьей строки.

Шаг 4. Получение общего решения.

1. После дальнейших преобразований мы увидим, что \(x_4\) является свободной переменной. Это значит, что система имеет бесконечное множество решений, которые зависят от \(x_4\).

Мы выразили \(x_3\) через \(x_4\) следующим образом:

2. Теперь важно подставить это выражение в исходные уравнения для получения остальных переменных (\(x_1\) и \(x_2\)).

\[ x_3 = -7 - 9x_4 \]