Исследовать на совместность, найти общее решение системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы

Данная задача относится к предмету "Алгебра" и, в частности, к разделу "Линейная алгебра", включающему методы решения систем линейных уравнений.

Шаг 1: Исследование системы на совместность

Нам нужно проверить, является ли система линейных уравнений совместной. Для это мы должны исследовать приведённую однородную систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 + 3x_4 = 0, \\ 3x_1 - 6x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0, \\ 4x_1 - 8x_2 + 17x_3 + 11x_4 = 0. \end{cases} \] Представим эту систему в матричном виде \(AX=0\), где: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}. \] Решение однородной системы линейных уравнений всегда включает в себя тривиальное решение (когда все \(x_i = 0\)). Для проверки на наличие нетривиальных решений найдем ранг матрицы \(A\).

Шаг 2: Приведение матрицы \(A\) к ступенчатому виду

Применим метод Гаусса: \[ \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \] Преобразуем строки:

• Разделим первую строку на 2: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2.5 & 1.5 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \]
• Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2.5 & 1.5 \\ 0 & 0 & -3.5 & -2.5 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \]
• Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 4: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2.5 & 1.5 \\ 0 & 0 & -3.5 & -2.5 \\ 0 & 0 & 7 & 5 \end{pmatrix} \]
• Разделим третью строку на 7: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2.5 & 1.5 \\ 0 & 0 & -3.5 & -2.5 \\ 0 & 0 & 1 & 0.71 \end{pmatrix} \]
• Вычтем из второй строки третью, умноженную на -3.5: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2.5 & 1.5 \\ 0 & 0 & 0 & 0.2375 \\ 0 & 0 & 1 & 0.71 \end{pmatrix} \]
• Вычтем из первой строки третью, умноженную на 2.5: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -0.275 \\ 0 & 0 & 0 & 0.2375 \\ 0 & 0 & 1 & 0.71 \end{pmatrix} \]
• Вычтем из первой строки четвертую, умноженную на 1.5: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0.15 \\ 0 & 0 & 0 & 0.2375 \\ 0 & 0 & 1 & 0.71 \end{pmatrix} \]

Мы видим, что ранг матрицы \(A\) равен 3 (равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме), в то время как число переменных \(x_i = 4\). Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, и нужно найти фундаментальную систему решений неполноправной системы.

Шаг 3: Нахождение фундаментальной системы решений

Представим \(x_4=t\) в виде параметра: \[ \begin{cases} x_3 = -0.71 t, \\ x_2 = -0,05 t, \\ x_1 = -0.15 t. \end{cases} \] Следовательно, фундаментальная система решений однородной системы выглядит следующим образом: \[ X = t\begin{pmatrix} -0.15 \\ -0.05 \\ -0.71 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Шаг 4: Найдем частное решение неоднородной системы

Допустим неоднородная система имеет вид: \[ \begin{cases} 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 + 3x_4 = b_1, \\ 3x_1 - 6x_2 + 4x_3 + 2x_4 = b_2, \\ 4x_1 - 8x_2 + 17x_3 + 11x_4 = b_3. \end{cases} \] В данном случае, чтобы найти частное решение системе достаточно взять \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Частное решение будет: \[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Общее решение системы

Следовательно, общее решение системы можно записать в виде: \[ \mathbf{X} = \mathbf{X_p} + \mathbf{X_H} \] Следовательно, \[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -0.15 \\ -0.05 \\ -0.71 \\ 1 \end{pmatrix}. \]