Исследовать линейное отображение, заданное этой матрицей

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Линейные операторы и матрицы, проекции в пространстве

Рассмотрим задание под номером 5:

5. ( A: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ),
   ( A = \begin{pmatrix} -11 & 1 & 8 \ -8 & 1 & 8 \ -8 & 4 & 5 \end{pmatrix} )

Нам необходимо исследовать линейное отображение, заданное этой матрицей. В типичных задачах такого рода требуется:

• Найти собственные значения и собственные векторы
• Проверить диагонализируемость
• Найти ядро, образ, ранг и т.д.

Однако точная формулировка задания не указана, поэтому мы можем предположить, что нужно исследовать линейный оператор, заданный матрицей ( A ).

Шаг 1: Найдём характеристический многочлен

Характеристический многочлен матрицы находится как определитель матрицы [A - \lambda I]:

 \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -11 - \lambda & 1 & 8 \ -8 & 1 - \lambda & 8 \ -8 & 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} 

Рассчитаем определитель по первому столбцу:

 = (-11 - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 8 \ 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} + 8 \begin{vmatrix} 1 & 8 \ 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} 1 & 1 - \lambda \ 4 & 4 \end{vmatrix} 

Рассчитаем каждый из этих определителей:

1.  \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 8 \ 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(5 - \lambda) - 32 = (5 - \lambda)(1 - \lambda) - 32 

2.  \begin{vmatrix} 1 & 8 \ 4 & 5 - \lambda \end{vmatrix} = 1(5 - \lambda) - 32 = 5 - \lambda - 32 = -\lambda - 27 

3.  \begin{vmatrix} 1 & 1 - \lambda \ 4 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 4(1 - \lambda) = 4 - 4 + 4\lambda = 4\lambda 

Теперь подставим всё в формулу:

 \det(A - \lambda I) = (-11 - \lambda)[(1 - \lambda)(5 - \lambda) - 32] + 8(-\lambda - 27) - 8(4\lambda) 

Это выражение можно упростить, раскрыть скобки и найти корни — это и будут собственные значения матрицы.

Если у тебя есть конкретное указание, что нужно сделать с этой матрицей (например, найти собственные значения, диагонализировать, найти проекцию и т.д.), уточни, пожалуйста, и я продолжу решение в нужном направлении.