Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость

Задача относится к разделу линейной алгебры — "Исследование квадратичных форм на знакоопределённость".

Для проверки знакоопределённости квадратичной формы, необходимо исследовать её матрицу на положительную определённость.

Шаг 1: Определение матрицы квадратичной формы

В качестве первого шага, выпишем матрицу квадратичной формы, использую коэффициенты прилагаемого выражения: \[ q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 7x_2^2 - 14x_2x_3 + 10x_3^2 \]

Матрица, соответствующая этой квадратичной форме, имеет вид: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 7 & -7 \\ 0 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Проверка положительной определенности матрицы

Для этого последовательно найдем все главные миноры матрицы и проверим их знаки.

1-й порядок (первый элемент диагонали): \[ \Delta_1 = a_{11} = 1 \]

2-й порядок (минор \(2 \times 2\)): \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 7 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - (-1) \cdot (-1) = 7 - 1 = 6 \]

3-й порядок (сам определитель матрицы \(3 \times 3\")): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 7 & -7 \\ 0 & -7 & 10 \\ \end{vmatrix} \]

Вычислим этот определитель разложением по первой строке: \[ \Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -7 \\ -7 & 10 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -7 \\ 0 & 10 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ 0 & -7 \end{vmatrix} \]

\[ \Delta_3 = 1 \cdot (7 \cdot 10 - (-7) \cdot (-7)) - (-1) \cdot (-1 \cdot 10 - 0 \cdot (-7)) \]

\[ \Delta_3 = 1 \cdot 21 - 10 \]

\[ \Delta_3 = 21 - 10 = 11 \]

Шаг 3: Оценка знаков определителей

• \(\Delta_1 = 1 > 0\)
• \(\Delta_2 = 6 > 0\)
• \(\Delta_3 = 11 > 0\)

Все главные миноры являются положительными. Таким образом, матрица \( A \) положительно определена, а значит, квадратичная форма \( q(x_1, x_2, x_3) \) положительно определена.

Вывод: Квадратичная форма \( q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 7x_2^2 - 14x_2x_3 + 10x_3^2 \) является положительно определённой.