Исследование системы на совместность и нахождении общего решения системы линейных уравнений

Условие:

Реши

Решение:

Задание относится к курсу "Алгебра", раздел "Линейная алгебра", тема "Системы линейных уравнений". Цель состоит в исследовании системы на совместность и нахождении общего решения системы линейных уравнений. ### Дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 7x_4 = 5 \\ 6x_1 - 3x_2 + x_3 - 4x_4 = 7 \\ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18 \end{cases} \] ### 1. Представление системы в матричной форме: Для удобства и дальнейшего решения представим систему в виде матричной записи: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -7 \\ 6 & -3 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & 14& -31 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 18 \end{pmatrix} \] Здесь мы записали коэффициенты при переменных \(x_1, x_2, x_3, x_4\) в матрицу, и у нас получилось 3 уравнения с 4 неизвестными. ### 2. Приведение к треугольному виду Применим метод Гаусса для решения системы. #### Шаг 1. Нормализация первой строки Умножим первую строку на 3, чтобы удобнее было вычитать из второй строки. После этого получаем: \[ \text{Система:} \begin{cases} 6x_1 - 3x_2 + 9x_3 - 21x_4 = 15 \\ 6x_1 - 3x_2 + x_3 - 4x_4 = 7 \\ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18 \end{cases} \] #### Шаг 2. Вычитание строк Теперь вычтем первую строку из второй: \[ \text{Система:} \begin{cases} 6x_1 - 3x_2 + 9x_3 - 21x_4 = 15 \\ 0x_1 + 0x_2 - 8x_3 + 17x_4 = -8 \\ 4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4 = 18 \end{cases} \] Затем, умножим первую строку на 2/3 и вычтем из третьей строки для приведения к удобному виду: \[ \frac{2}{3} \cdot (6x_1 - 3x_2 + 9x_3 - 21x_4 = 15) \Rightarrow 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 - 14x_4 = 10 \] \[ \text{Теперь вычтем:} (4x_1 - 2x_2 + 14x_3 - 31x_4) - (4x_1 - 2x_2 + 6x_3 - 14x_4) = \] \[ \text{Система:} \begin{cases} 6x_1 - 3x_2 + 9x_3 - 21x_4 = 15 \\ -8x_3 + 17x_4 = -8 \\ 8x_3 - 17x_4 = 8 \end{cases} \] #### Шаг 3. Решение нижних уравнений Теперь заметим, что во втором и третьем уравнении выражения схожи, но с противоположными знаками. Если сложим эти два уравнения, мы получим 0 = 0. Это означает, что одно из уравнений в системе линейно зависимо. ### 3. Формирование общего решения Теперь мы видим, что наша система уравнений является **неопределенной**, так как одно уравнение выражается через другое. Это значит, что у системы бесконечное количество решений. Рассмотрим переменные \(x_3\) и \(x_4\) как параметры. Выразим \(x_3\) через \(x_4\) из второго уравнения: \[ -8x_3 + 17x_4 = -8 \] \[ x_3 = x_4 - 1 \] Теперь подставим это значение в первое уравнение для поиска \(x_1\) и \(x_2\): \[ 6x_1 - 3x_2 + 9(x_4 - 1) - 21x_4 = 15 \] \[ 6x_1 - 3x_2 + 9x_4 - 9 - 21x_4 = 15 \] \[ 6x_1 - 3x_2 - 12x_4 = 24 \] \[ 2x_1 - x_2 - 4x_4 = 8 \] Таким образом, общее решение системы: \[ \begin{cases} x_1 = \frac{1}{2}x_2 + 2x_4 + 4 \\ x_3 = x_4 - 1 \\ x_4 \quad \text{- параметр}\\ x_2 \quad \text{также свободен} \end{cases} \] ### Ответ: Система совместна и имеет бесконечное множество решений, которые зависят от параметров \(x_2\) и \(x_4\).