Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Алгебра", подпредмету "Теория многочленов".
Здесь необходимо использовать метод Штурма для нахождения количества действительных корней многочлена на заданных промежутках. Далее объясню шаг за шагом, что происходит в этом примере.
Дано:
Мы работаем с многочленом: \[ f_0(x) = x^3 - 3x - 1 \]
Для него нужно построить систему Штурма, которая состоит из самого многочлена \( f_0(x) \) и его производных, вплоть до константы.
Система Штурма уже была сгенерирована:
- \( f_1(x) = \frac{d}{dx} f_0(x) = 3x^2 - 3 \)
- Остальные функции были найдены путём вычисления остатков от деления с изменением знака:
- \( f_2(x) = 2x + 1 \)
- \( f_3(x) = 1 \) (константа)
Теперь на основе этих функций построили таблицу знаков для различных значений \( x \):
\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & +\infty \\
\hline
f_0(x) & - & - & - & - & - & + & + \\
f_1(x) & + & 0 & + & + & - & 0 & + \\
f_2(x) & - & - & - & + & + & + & + \\
f_3(x) & + & + & + & + & + & + & + \\
\end{array}
\]
Следующий шаг — найти количество смен знаков в таблице на каждом из промежутков и определить количество корней.
1. Количество смен знаков на \([-\infty, 3)\):
- Для \( x = -\infty \):
- \( f_0(x) = - \)
- \( f_1(x) = + \)
- \( f_2(x) = - \)
- \( f_3(x) = + \)
Смены знаков: \( (+,-), (-,+) \). Всего две смены знаков.
- Для \( x = -3 \):
- \( f_0(-3) = - \)
- \( f_1(-3) = 0 \)
- \( f_2(-3) = - \)
- \( f_3(-3) = + \)
Смены знаков: \( (-,0), (0,-), (-,+) \). Две смены знаков. Значит, на промежутке \([-\infty, -3)\) корней нет.
2. Количество смен знаков на \((-3, -2)\):
- Для \( x = -3 \), количество смен — 2.
- Для \( x = -2 \):
- \( f_0(-2) = - \)
- \( f_1(-2) = + \)
- \( f_2(-2) = - \)
- \( f_3(-2) = + \)
Количество смен: \( (+,-), (-,+) \). Две смены. Значит, на промежутке \((-3, -2)\) тоже корней нет.
...и так далее по тому же принципу для оставшихся промежутков...
Ответ:
- \((-2, -1)\)
- \((1, +\infty)\)