Докажите, что число λ=6 собственное для матрицы. Найдите ему отвечающий вектор

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы матрицы

1. Проверим, является ли \lambda = 6 собственным числом матрицы

Дана матрица:
 A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 6 \ 0 & 9 & 0 \ 6 & 0 & 0 \end{bmatrix} 

Собственные числа матрицы находятся из уравнения:
 \det(A - \lambda I) = 0 

Вычтем \lambda I:
 A - 6I = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 6 \ 0 & 3 & 0 \ 6 & 0 & -6 \end{bmatrix} 

Найдем определитель:
 \det \begin{bmatrix} -6 & 0 & 6 \ 0 & 3 & 0 \ 6 & 0 & -6 \end{bmatrix} 

Разложим по второй строке:
 \det(A - 6I) = 3 \cdot \det \begin{bmatrix} -6 & 6 \ 6 & -6 \end{bmatrix} 

Определитель матрицы  \begin{bmatrix} -6 & 6 \ 6 & -6 \end{bmatrix}  равен:
 (-6) \cdot (-6) - (6 \cdot 6) = 36 - 36 = 0 

Следовательно, \det(A - 6I) = 0, значит \lambda = 6 действительно является собственным числом.

2. Найдем собственный вектор

Рассмотрим уравнение (A - 6I) v = 0, где v = (x, y, z).

Система линейных уравнений:
 \begin{cases} -6x + 6z = 0 \ 3y = 0 \ 6x - 6z = 0 \end{cases} 

Из второго уравнения:
y = 0.

Из первого и третьего уравнения:
-6x + 6z = 0
6x - 6z = 0

Обе строки эквивалентны, значит x = z.

Пусть x = 2, тогда z = 2.

Итак, вектор имеет вид (2, 0, 2), то есть \alpha = 0, \beta = 2.

Ответ: 0;2.