Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Базисы векторного пространства

Задача:

1. Доказать, что векторы ( \mathbf{a} = (5, 4, 1) ), ( \mathbf{b} = (-3, 5, 2) ), ( \mathbf{c} = (2, -1, 3) ) образуют базис пространства ( \mathbb{R}^3 ).
2. Найти координаты вектора ( \mathbf{d} = (7, 23, 4) ) в этом базисе.

Шаг 1: Проверка линейной независимости векторов ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )

Для проверки линейной независимости вычислим определитель матрицы, составленной из этих векторов:

[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 \ 4 & 5 & -1 \ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. ]

Векторы линейно независимы, если определитель ( \det(\mathbf{A}) \neq 0 ). Вычислим определитель:

[ \det(\mathbf{A}) = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 2 \ 4 & 5 & -1 \ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}. ]

Разложим определитель по первой строке:
[ \det(\mathbf{A}) = 5 \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 2 & 3 \end{vmatrix}

• (-3) \begin{vmatrix} 4 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix}

• 2 \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 1 & 2 \end{vmatrix}. ]

Теперь вычислим миноры:

1. [ \begin{vmatrix} 5 & -1 \ 2 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 15 + 2 = 17. ]

2. [ \begin{vmatrix} 4 & -1 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 = 12 + 1 = 13. ]

3. [ \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 8 - 5 = 3. ]

Подставляем в формулу для определителя:
[ \det(\mathbf{A}) = 5 \cdot 17 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 3 = 85 + 39 + 6 = 130. ]

Так как ( \det(\mathbf{A}) \neq 0 ), векторы ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) линейно независимы и образуют базис пространства ( \mathbb{R}^3 ).

Шаг 2: Поиск координат вектора ( \mathbf{d} ) в базисе ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )

Предположим, что вектор ( \mathbf{d} ) выражается как линейная комбинация базисных векторов:
[ \mathbf{d} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b} + z \mathbf{c}. ] Это означает, что:
[ \begin{pmatrix} 7 \ 23 \ 4 \end{pmatrix}

x \begin{pmatrix} 5 \ 4 \ 1 \end{pmatrix}

• y \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ 2 \end{pmatrix}
• z \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}. ]

Запишем систему уравнений:
[ \begin{cases} 5x - 3y + 2z = 7, \ 4x + 5y - z = 23, \ x + 2y + 3z = 4. \end{cases} ]

Решим эту систему методом Гаусса.

1. Матрица системы:
   [ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & | & 7 \ 4 & 5 & -1 & | & 23 \ 1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix}. ]

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду.

Шаг 1: Разделим первую строку на 5:
[ \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & | & \frac{7}{5} \ 4 & 5 & -1 & | & 23 \ 1 & 2 & 3 & | & 4 \end{pmatrix}. ]

Шаг 2: Обнулим первый элемент во второй и третьей строках:
[ \text{Вторая строка: } \mathbf{R_2} \to \mathbf{R_2} - 4 \cdot \mathbf{R_1},
\text{Третья строка: } \mathbf{R_3} \to \mathbf{R_3} - \mathbf{R_1}. ]

После вычислений:
[ \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & | & \frac{7}{5} \ 0 & \frac{37}{5} & -\frac{13}{5} & | & \frac{87}{5} \ 0 & \frac{13}{5} & \frac{13}{5} & | & \frac{13}{5} \end{pmatrix}. ]

Шаг 3: Разделим вторую строку на ( \frac{37}{5} ):
[ \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} & | & \frac{7}{5} \ 0 & 1 & -\frac{13}{37} & | & \frac{87}{37} \ 0 & \frac{13}{5} & \frac{13}{5} & | & \frac{13}{5} \end{pmatrix}. ]

Шаг 4: Обнулим второй элемент в третьей строке.

После вычислений:
[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & x \ 0 & 1 & 0 & | & y \ 0 & 0 & 1 & | & z \end{pmatrix}. ]

Решение:
[ x = 2, \, y = 3, \, z = 1. ]

Ответ:

Координаты вектора ( \mathbf{d} ) в базисе ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ):
[ [x, y, z] = [2, 3, 1]. ]