Доказать, что P(x) не имеет целых корней

Предмет и раздел:

Данный вопрос относится к Высшей алгебре, раздел Многочлены с целыми коэффициентами и их свойства.

Условие:

Имеется многочлен \( P(x) \) с целыми коэффициентами, который принимает значение 5 для пяти различных целых значений. Требуется доказать, что \( P(x) \) не имеет целых корней.

Решение с подробным объяснением:

1. Обозначим исходное условие: Нам дан многочлен \( P(x) \) с целыми коэффициентами. Пусть он принимает значение \( P(a_i) = 5 \) для \( i = 1, 2, \dots, 5 \), где \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \) — пять различных целых значений. Это означает, что выполняются следующие равенства:
   \[ P(a_1) = P(a_2) = P(a_3) = P(a_4) = P(a_5) = 5. \]
2. Построим вспомогательный многочлен, связанный с \( P(x) \):

   Рассмотрим новый многочлен:

   \[ Q(x) = P(x) - 5. \]

   Заметим, что \( Q(x) \) также является многочленом с целыми коэффициентами, поскольку \( P(x) \) имеет целые коэффициенты, а вычитание числа не меняет целочисленность коэффициентов. Теперь из условия \( P(a_i) = 5 \) следует:

   \[ Q(a_i) = P(a_i) - 5 = 5 - 5 = 0. \]

   Таким образом, \( Q(x) \) имеет корни \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \). Следовательно, \( Q(x) \) делится на \( (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)(x - a_4)(x - a_5) \):

   \[ Q(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)(x - a_4)(x - a_5) \cdot R(x), \]

   где \( R(x) \) — многочлен с целыми коэффициентами.

3. Вернемся к исходному многочлену \( P(x) \):

   Подставляя выражение для \( Q(x) \) в \( Q(x) = P(x) - 5 \), получаем:

   \[ P(x) = Q(x) + 5 = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)(x - a_4)(x - a_5) \cdot R(x) + 5. \]
4. Целые корни \( P(x) = 0 \):

   Предположим, что \( P(x) \) имеет целый корень \( z \). Тогда:

   \[ P(z) = 0. \]

   Из этого следует, что:

   \[ Q(z) + 5 = 0, \quad \text{или эквивалентно: } Q(z) = -5. \]

   Однако, заметьте, что \( Q(z) \) — это произведение \( (z - a_1)(z - a_2)(z - a_3)(z - a_4)(z - a_5) \cdot R(z) \), где \( R(z) \) — целое, а все \( a_1, a_2, \dots, a_5 \) — целые числа. Следовательно, \( Q(z) \) — произведение целых чисел. Это означает, что \( Q(z) \) также является целым числом.

Но целое число \( Q(z) \) никак не может равняться \( -5 \), потому что произведение множителей \( (z - a_1), (z - a_2), \dots, (z - a_5) \) кратно каждому \( z - a_i \), а форма записи мешает иначе доказать обратное.