Доказать, что многочлен, который имеет целые коэффициенты, старший коэффициент 1

Предмет и раздел:

Математика, раздел — алгебра, тема — свойства многочленов и их корней.

Задача:

Доказать, что многочлен \(P(x)\), который имеет целые коэффициенты, старший коэффициент 1, а \(P(0)\) и \(P(1)\) являются нечётными числами, не имеет целых корней.

Решение:

Чтобы доказать, что \(P(x)\) не имеет целых корней, применим ключевые свойства многочленов с целыми коэффициентами и нечётности/чётности значений многочлена.

Шаг 1: Свойства целого корня многочлена с целыми коэффициентами

Согласно теореме о возможных целых корнях, если \(r\) — целый корень многочлена \(P(x)\), то \(r\) должен делить свободный член многочлена \(P(x)\), то есть \(P(0)\).

Шаг 2: Чётность и нечётность многочленов

• Значения \(P(0)\) и \(P(1)\) — нечётные числа (условие задачи).
• Все коэффициенты многочлена целые. Для произвольного многочлена \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\),
• \(P(0) = a_0\). То есть свободный член \(a_0\) — нечётный.
• \(P(1) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0\). Сумма всех коэффициентов также нечётна.

Шаг 3: Исследование на целый корень

Предположим, что \(r\) — корень многочлена \(P(x)\), то есть \(P(r) = 0\). Подставим \(r\) в \(P(x)\):

\[ P(r) = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0. \]

Теперь рассмотрим возможные значения \(r\) на предмет их чётности:

1. Если \(r\) чётное:
   • Чётное число \(r\), возведённое в любую степень, даёт чётное число.
   • Умножение чётного числа на любой целый коэффициент многочлена тоже даёт чётное число.
   • Таким образом, все члены \(a_i r^i\) для \(i \geq 1\) чётны.
   • \(a_0\) (свободный член) нечётен, так как \(P(0)\) — нечётное число.
   • Сумма чётных чисел (члены с \(r^i\)) и нечётного числа (\(a_0\)) не может быть равна 0.

   Следовательно, \(r\) не может быть чётным.

2. Если \(r\) нечётное:
   • Нечётное число \(r\), возведённое в любую степень, остаётся нечётным.
   • Умножение нечётного числа на целый коэффициент многочлена даёт нечётное число.
   • Сумма нечётных чисел — нечётное число, а \(P(r) = 0\) должно быть чётным.

   Следовательно, \(r\) не может быть нечётным.

Шаг 4: Вывод

Мы доказали, что \(r\) не может быть ни чётным, ни нечётным. Таким образом, многочлен \(P(x)\) не имеет целых корней.

Ответ:

Многочлен \(P(x)\) не имеет целых корней.